Задача:
Какая из функций является первообразной для функции \(f(x) = \frac{6}{\sqrt{x}}\)?
Решение:
Для того чтобы найти первообразную функции \(f(x)\), нужно вычислить неопределенный интеграл от этой функции:
\[F(x) = \int f(x) \, dx\]В нашем случае \(f(x) = \frac{6}{\sqrt{x}}\). Перепишем функцию в более удобном для интегрирования виде:
\[f(x) = 6 \cdot x^{-\frac{1}{2}}\]Теперь найдем интеграл, используя правило интегрирования степенной функции \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\):
\[F(x) = \int 6 \cdot x^{-\frac{1}{2}} \, dx\]Вынесем константу за знак интеграла:
\[F(x) = 6 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx\]Применим правило интегрирования степенной функции, где \(n = -\frac{1}{2}\):
\[n+1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\]Тогда:
\[F(x) = 6 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C\]Упростим выражение:
\[F(x) = 6 \cdot 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + C\] \[F(x) = 12 \cdot x^{\frac{1}{2}} + C\]Запишем \(x^{\frac{1}{2}}\) как \(\sqrt{x}\):
\[F(x) = 12\sqrt{x} + C\]Проверка:
Чтобы убедиться в правильности найденной первообразной, можно взять производную от \(F(x)\) и проверить, получим ли мы исходную функцию \(f(x)\).
\[F'(x) = \frac{d}{dx} (12\sqrt{x} + C)\] \[F'(x) = \frac{d}{dx} (12x^{\frac{1}{2}} + C)\] \[F'(x) = 12 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + 0\] \[F'(x) = 6 x^{-\frac{1}{2}}\] \[F'(x) = \frac{6}{x^{\frac{1}{2}}}\] \[F'(x) = \frac{6}{\sqrt{x}}\]Мы получили исходную функцию \(f(x)\), значит, первообразная найдена верно.
Ответ:
Среди предложенных вариантов правильным является \(12\sqrt{x} + C\).