Решение задач на упрощение выражений со степенями

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Решение задач: 1. Упростите выражения: а) \(a^3 \cdot a^{-5}\) При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(a^3 \cdot a^{-5} = a^{3 + (-5)} = a^{3 - 5} = a^{-2}\) б) \(x^{-3} \cdot x^{-6}\) При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(x^{-3} \cdot x^{-6} = x^{-3 + (-6)} = x^{-3 - 6} = x^{-9}\) в) \(a^{-3} : a^{-6}\) При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(a^{-3} : a^{-6} = a^{-3 - (-6)} = a^{-3 + 6} = a^3\) 2. Упростите выражение: \((x^2)^{-4}\) При возведении степени в степень показатели перемножаются: \((x^2)^{-4} = x^{2 \cdot (-4)} = x^{-8}\) 3. Упростите выражение: \[\frac{c^{-5} \cdot c^{-7}}{c^3 \cdot (c^{-2})^3}\] Сначала упростим числитель: \(c^{-5} \cdot c^{-7} = c^{-5 + (-7)} = c^{-5 - 7} = c^{-12}\) Теперь упростим знаменатель. Сначала возведем степень в степень: \((c^{-2})^3 = c^{-2 \cdot 3} = c^{-6}\) Затем умножим степени в знаменателе: \(c^3 \cdot c^{-6} = c^{3 + (-6)} = c^{3 - 6} = c^{-3}\) Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь: \[\frac{c^{-12}}{c^{-3}}\] При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \[\frac{c^{-12}}{c^{-3}} = c^{-12 - (-3)} = c^{-12 + 3} = c^{-9}\] Итоговое решение: \[\frac{c^{-5} \cdot c^{-7}}{c^3 \cdot (c^{-2})^3} = \frac{c^{-12}}{c^{-3}} = c^{-9}\]