Решение задачи: 76^-2 * 2^5 / 8^-3

Вот решение задач, представленных на изображении. Задача 1: Вычислить значение выражения: \[ \frac{76^{-2} \cdot 2^5}{8^{-3}} \] Решение: Сначала преобразуем числа к степеням с одинаковым основанием, если это возможно. Заметим, что \(76\) не является степенью \(2\) или \(8\). Однако, \(8 = 2^3\). Перепишем выражение, используя это: \[ \frac{76^{-2} \cdot 2^5}{(2^3)^{-3}} \] Используем свойство степеней \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \[ \frac{76^{-2} \cdot 2^5}{2^{3 \cdot (-3)}} \] \[ \frac{76^{-2} \cdot 2^5}{2^{-9}} \] Теперь используем свойство степеней \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \[ 76^{-2} \cdot 2^{5 - (-9)} \] \[ 76^{-2} \cdot 2^{5 + 9} \] \[ 76^{-2} \cdot 2^{14} \] Используем свойство степеней \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\): \[ \frac{1}{76^2} \cdot 2^{14} \] \[ \frac{2^{14}}{76^2} \] Можно также заметить, что \(76 = 4 \cdot 19 = 2^2 \cdot 19\). Тогда: \[ \frac{2^{14}}{(2^2 \cdot 19)^2} \] \[ \frac{2^{14}}{(2^2)^2 \cdot 19^2} \] \[ \frac{2^{14}}{2^4 \cdot 19^2} \] \[ \frac{2^{14-4}}{19^2} \] \[ \frac{2^{10}}{19^2} \] Вычислим значения: \(2^{10} = 1024\) \(19^2 = 361\) Таким образом: \[ \frac{1024}{361} \] Ответ: \[ \frac{1024}{361} \] Задача 2: Упростить выражение: \[ \frac{20b^{-2}}{a^{-4}} \cdot \frac{a^2}{4b^{-4}} \] Решение: Сначала перепишем выражение, используя свойство \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\). \[ \frac{20 \cdot \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^4}} \cdot \frac{a^2}{4 \cdot \frac{1}{b^4}} \] Упростим дроби: \[ \frac{20}{b^2} \cdot a^4 \cdot \frac{a^2 \cdot b^4}{4} \] Теперь перемножим числители и знаменатели: \[ \frac{20 \cdot a^4 \cdot a^2 \cdot b^4}{b^2 \cdot 4} \] Сгруппируем одинаковые переменные и числа: \[ \frac{20}{4} \cdot \frac{a^4 \cdot a^2}{1} \cdot \frac{b^4}{b^2} \] Выполним деление чисел: \[ 5 \cdot a^4 \cdot a^2 \cdot \frac{b^4}{b^2} \] Используем свойство степеней \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\) для \(a\): \[ 5 \cdot a^{4+2} \cdot \frac{b^4}{b^2} \] \[ 5 \cdot a^6 \cdot \frac{b^4}{b^2} \] Используем свойство степеней \(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\) для \(b\): \[ 5 \cdot a^6 \cdot b^{4-2} \] \[ 5 \cdot a^6 \cdot b^2 \] Ответ: \[ 5a^6b^2 \]