ЗАДАНИЕ №1
Дано:
Параллелограмм ABCD.
Диагонали: \(d_1 = AC = 4\), \(d_2 = BD = 3\).
Площадь: \(S = 6\).
Найти:
Стороны параллелограмма \(AB\) и \(AD\).
Решение:
1. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей - M.
Тогда \(AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
И \(BM = MD = \frac{BD}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\).
2. Площадь параллелограмма можно найти по формуле: \(S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha\), где \(\alpha\) - угол между диагоналями.
Подставим известные значения:
\(6 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin \alpha\)
\(6 = 6 \sin \alpha\)
\(\sin \alpha = 1\)
Это означает, что угол между диагоналями \(\alpha = 90^\circ\). То есть диагонали параллелограмма перпендикулярны.
3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. В ромбе все стороны равны.
4. Рассмотрим треугольник ABM. Он прямоугольный, так как угол AMB равен \(90^\circ\).
По теореме Пифагора:
\(AB^2 = AM^2 + BM^2\)
\(AB^2 = 2^2 + (1.5)^2\)
\(AB^2 = 4 + 2.25\)
\(AB^2 = 6.25\)
\(AB = \sqrt{6.25}\)
\(AB = 2.5\)
5. Так как ABCD - ромб, то все его стороны равны:
\(AB = BC = CD = AD = 2.5\).
Ответ:
\(AB = 2.5\)
\(AD = 2.5\)
ЗАДАНИЕ №2
Дано:
Параллелограмм ABCD.
Угол \(A = 30^\circ\).
Сторона \(AB = 6\).
Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E.
Найти:
Площадь треугольника ABE (\(S_{ABE}\)).
Решение:
1. Биссектриса угла A делит угол пополам. Так как \(\angle A = 30^\circ\), то \(\angle BAE = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ\).
2. В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Значит, \(AD \parallel BC\).
3. Рассмотрим прямую AE как секущую для параллельных прямых AD и BC.
Тогда \(\angle DAE = \angle AEB\) как накрест лежащие углы.
Мы знаем, что \(\angle DAE = \angle BAE = 15^\circ\).
Следовательно, \(\angle AEB = 15^\circ\).
4. Рассмотрим треугольник ABE.
В этом треугольнике \(\angle BAE = 15^\circ\) и \(\angle AEB = 15^\circ\).
Так как два угла в треугольнике равны, то треугольник ABE является равнобедренным с основанием AE.
Значит, стороны, лежащие против равных углов, тоже равны: \(AB = BE\).
5. Нам дано, что \(AB = 6\). Следовательно, \(BE = 6\).
6. Теперь мы можем найти площадь треугольника ABE. Площадь треугольника можно найти по формуле: \(S = \frac{1}{2} ab \sin C\), где a и b - две стороны треугольника, а C - угол между ними.
В треугольнике ABE известны две стороны \(AB = 6\) и \(BE = 6\), а также угол между ними \(\angle B\).
7. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\).
Значит, \(\angle B + \angle A = 180^\circ\).
\(\angle B + 30^\circ = 180^\circ\)
\(\angle B = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\).
8. Теперь подставим значения в формулу для площади треугольника ABE:
\(S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE \cdot \sin(\angle B)\)
\(S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(150^\circ)\)
\(S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \sin(180^\circ - 30^\circ)\)
\(S_{ABE} = 18 \cdot \sin(30^\circ)\)
Мы знаем, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\).
\(S_{ABE} = 18 \cdot \frac{1}{2}\)
\(S_{ABE} = 9\)
Ответ:
\(S_{ABE} = 9\)