Задание №3
Медианы треугольника имеют длину 4 и 5 и пересекаются под углом 30°. Найдите площадь треугольника.
Решение:
Пусть \(m_a\) и \(m_b\) — длины двух медиан треугольника, а \(\alpha\) — угол между ними. Известна формула для площади треугольника через две медианы и угол между ними:
\[S = \frac{2}{3} m_a m_b \sin \alpha\]В нашей задаче даны следующие значения:
- Длина первой медианы \(m_a = 4\)
- Длина второй медианы \(m_b = 5\)
- Угол между медианами \(\alpha = 30^\circ\)
Подставим эти значения в формулу:
\[S = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin 30^\circ\]Мы знаем, что \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).
Продолжаем вычисления:
\[S = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}\]Умножим числа:
\[S = \frac{2}{3} \cdot 20 \cdot \frac{1}{2}\]Сократим 2 в числителе и знаменателе:
\[S = \frac{1}{3} \cdot 20\] \[S = \frac{20}{3}\]Таким образом, площадь треугольника равна \(\frac{20}{3}\).
Ответ:
\[S = \frac{20}{3}\]