Задача 1
Какой объём будет занимать газ при температуре 77°C, если при 27°C его объём равен 0,006 м3, при постоянном давлении.
Дано:
\(V_1 = 0,006 \text{ м}^3\)
\(t_1 = 27^\circ\text{C}\)
\(t_2 = 77^\circ\text{C}\)
\(p = \text{const}\)
Найти:
\(V_2\)
Решение:
Для изобарного процесса (при постоянном давлении) справедлив закон Гей-Люссака, который гласит, что объём данной массы газа прямо пропорционален его абсолютной температуре:
\[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\]
Сначала переведём температуры из градусов Цельсия в Кельвины:
\(T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}\)
\(T_2 = t_2 + 273 = 77 + 273 = 350 \text{ К}\)
Теперь выразим \(V_2\) из формулы:
\[V_2 = V_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}\]
Подставим известные значения:
\[V_2 = 0,006 \text{ м}^3 \cdot \frac{350 \text{ К}}{300 \text{ К}}\]
\[V_2 = 0,006 \cdot \frac{35}{30}\]
\[V_2 = 0,006 \cdot \frac{7}{6}\]
\[V_2 = 0,001 \cdot 7\]
\[V_2 = 0,007 \text{ м}^3\]
Ответ:
Газ будет занимать объём 0,007 м3.
Задача 2
Газ при давлении 200 кПа и температуре 17°C имеет объём 5 л. Чему равен объём (л) этой массы газа при давлении 100 кПа и температуре – 3°C?
Дано:
\(p_1 = 200 \text{ кПа}\)
\(t_1 = 17^\circ\text{C}\)
\(V_1 = 5 \text{ л}\)
\(p_2 = 100 \text{ кПа}\)
\(t_2 = -3^\circ\text{C}\)
Найти:
\(V_2\)
Решение:
Для данной массы газа справедлив объединённый газовый закон (уравнение Клапейрона):
\[\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}\]
Сначала переведём температуры из градусов Цельсия в Кельвины:
\(T_1 = t_1 + 273 = 17 + 273 = 290 \text{ К}\)
\(T_2 = t_2 + 273 = -3 + 273 = 270 \text{ К}\)
Выразим \(V_2\) из формулы:
\[V_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{p_2 T_1}\]
Подставим известные значения:
\[V_2 = \frac{200 \text{ кПа} \cdot 5 \text{ л} \cdot 270 \text{ К}}{100 \text{ кПа} \cdot 290 \text{ К}}\]
\[V_2 = \frac{2 \cdot 5 \cdot 270}{290}\]
\[V_2 = \frac{10 \cdot 270}{290}\]
\[V_2 = \frac{2700}{290}\]
\[V_2 \approx 9,31 \text{ л}\]
Ответ:
Объём газа будет примерно 9,31 л.
Задача 3
В баллоне вместимостью 25,6 л находится 1,04 кг азота при давлении 3,55 МПа. Определить температуру газа.
Дано:
\(V = 25,6 \text{ л} = 25,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\)
\(m = 1,04 \text{ кг}\)
\(p = 3,55 \text{ МПа} = 3,55 \cdot 10^6 \text{ Па}\)
Молярная масса азота (\(N_2\)): \(M = 28 \text{ г/моль} = 0,028 \text{ кг/моль}\)
Универсальная газовая постоянная: \(R = 8,31 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\)
Найти:
\(T\)
Решение:
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона:
\[pV = \frac{m}{M} RT\]
Выразим температуру \(T\):
\[T = \frac{pVM}{mR}\]
Подставим известные значения:
\[T = \frac{3,55 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 25,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 0,028 \text{ кг/моль}}{1,04 \text{ кг} \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}}\]
\[T = \frac{3,55 \cdot 25,6 \cdot 0,028 \cdot 10^3}{1,04 \cdot 8,31}\]
\[T = \frac{2540,8}{8,632}\]
\[T \approx 294,34 \text{ К}\]
Переведём температуру в градусы Цельсия:
\(t = T - 273 = 294,34 - 273 = 21,34^\circ\text{C}\)
Ответ:
Температура газа примерно 294,34 К или 21,34°C.
Задача 4
Определите массу водорода, находящегося в баллоне вместимостью 20 л под давлением 830 кПа при температуре 17°C.
Дано:
\(V = 20 \text{ л} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\)
\(p = 830 \text{ кПа} = 830 \cdot 10^3 \text{ Па}\)
\(t = 17^\circ\text{C}\)
Молярная масса водорода (\(H_2\)): \(M = 2 \text{ г/моль} = 0,002 \text{ кг/моль}\)
Универсальная газовая постоянная: \(R = 8,31 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\)
Найти:
\(m\)
Решение:
Сначала переведём температуру из градусов Цельсия в Кельвины:
\(T = t + 273 = 17 + 273 = 290 \text{ К}\)
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона:
\[pV = \frac{m}{M} RT\]
Выразим массу \(m\):
\[m = \frac{pVM}{RT}\]
Подставим известные значения:
\[m = \frac{830 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 0,002 \text{ кг/моль}}{8,31 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)} \cdot 290 \text{ К}}\]
\[m = \frac{830 \cdot 20 \cdot 0,002}{8,31 \cdot 290}\]
\[m = \frac{33,2}{2409,9}\]
\[m \approx 0,01377 \text{ кг}\]
Переведём массу в граммы:
\(m \approx 13,77 \text{ г}\)
Ответ:
Масса водорода примерно 0,01377 кг или 13,77 г.
Задача 5
Газ находится в сосуде объёмом 2 л, имеет давление 3 атм. Какое давление будет у газа, если объём сосуда уменьшить до 1 л, при условии, что температура остаётся постоянной?
Дано:
\(V_1 = 2 \text{ л}\)
\(p_1 = 3 \text{ атм}\)
\(V_2 = 1 \text{ л}\)
\(T = \text{const}\)
Найти:
\(p_2\)
Решение:
Для изотермического процесса (при постоянной температуре) справедлив закон Бойля-Мариотта, который гласит, что произведение давления газа на его объём постоянно:
\[p_1 V_1 = p_2 V_2\]
Выразим \(p_2\) из формулы:
\[p_2 = \frac{p_1 V_1}{V_2}\]
Подставим известные значения:
\[p_2 = \frac{3 \text{ атм} \cdot 2 \text{ л}}{1 \text{ л}}\]
\[p_2 = 6 \text{ атм}\]
Ответ:
Давление газа будет 6 атм.
Задача 6
Идеальный газ находится в герметичном сосуде, его температуру увеличили в 2 раза. Во сколько раз изменилось давление газа?
Дано:
\(V = \text{const}\) (герметичный сосуд)
\(T_2 = 2 T_1\)
Найти:
Во сколько раз изменилось давление (\(p_2 / p_1\))
Решение:
Для изохорного процесса (при постоянном объёме) справедлив закон Шарля, который гласит, что давление данной массы газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:
\[\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\]
Выразим отношение давлений:
\[\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}\]
Подставим \(T_2 = 2 T_1\):
\[\frac{p_2}{p_1} = \frac{2 T_1}{T_1}\]
\[\frac{p_2}{p_1} = 2\]
Таким образом, давление газа увеличилось в 2 раза.
Ответ:
Давление газа увеличилось в 2 раза.
Задача 7
20-литровый баллон содержит 6 атмосфер газа при температуре 27°C. Каким было бы давление газа, если бы его нагрели до 77°C?
Дано:
\(V = \text{const}\) (баллон)
\(p_1 = 6 \text{ атм}\)
\(t_1 = 27^\circ\text{C}\)
\(t_2 = 77^\circ\text{C}\)
Найти:
\(p_2\)
Решение:
Сначала переведём температуры из градусов Цельсия в Кельвины:
\(T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}\)
\(T_2 = t_2 + 273 = 77 + 273 = 350 \text{ К}\)
Для изохорного процесса (при постоянном объёме) используем закон Шарля:
\[\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\]
Выразим \(p_2\) из формулы:
\[p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}\]
Подставим известные значения:
\[p_2 = 6 \text{ атм} \cdot \frac{350 \text{ К}}{300 \text{ К}}\]
\[p_2 = 6 \cdot \frac{35}{30}\]
\[p_2 = 6 \cdot \frac{7}{6}\]
\[p_2 = 7 \text{ атм}\]
Ответ:
Давление газа стало бы 7 атм.
Задача 8
В сосуде находится газ под давлением 50 кПа. Какое установилось давление в сосуде, после того как из него выпустили 2/3 газа? Температуру газа считать неизменной. Ответ дайте в кПа и округлите до десятых.
Дано:
\(p_1 = 50 \text{ кПа}\)
\(T = \text{const}\)
Выпустили 2/3 газа, значит, осталось 1/3 газа. Это означает, что количество вещества газа уменьшилось в 3 раза.
\[\nu_2 = \frac{1}{3} \nu_1\]
Найти:
\(p_2\)
<