Решение задачи: столб, провод и дом (геометрия, 8 класс)

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли (см. рис.). Расстояние от дома до столба 8 м. Вычислите длину провода. Решение: На рисунке мы видим прямоугольный треугольник. Высота столба 9 м. Провод крепится к дому на высоте 3 м. Значит, вертикальный катет треугольника равен разнице этих высот: \(9 \text{ м} - 3 \text{ м} = 6 \text{ м}\). Горизонтальный катет треугольника — это расстояние от дома до столба, которое равно 8 м. Длина провода — это гипотенуза этого прямоугольного треугольника. Используем теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\), где \(a\) и \(b\) — катеты, \(c\) — гипотенуза. \(6^2 + 8^2 = c^2\) \(36 + 64 = c^2\) \(100 = c^2\) \(c = \sqrt{100}\) \(c = 10 \text{ м}\) Ответ: Длина провода 10 м. 2. Лестницу длиной 3 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний ее конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,8 м? Решение: Здесь также образуется прямоугольный треугольник. Длина лестницы — это гипотенуза, равная 3 м. Расстояние от нижнего конца лестницы до ствола дерева — это один из катетов, равный 1,8 м. Высота, на которой находится верхний конец лестницы, — это второй катет. Обозначим его за \(h\). Используем теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\). \(1,8^2 + h^2 = 3^2\) \(3,24 + h^2 = 9\) \(h^2 = 9 - 3,24\) \(h^2 = 5,76\) \(h = \sqrt{5,76}\) \(h = 2,4 \text{ м}\) Ответ: Верхний конец лестницы находится на высоте 2,4 м. 3. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик? Решение: Движение на восток и на север перпендикулярны друг другу. Значит, путь мальчика образует два катета прямоугольного треугольника. Расстояние от дома — это гипотенуза этого треугольника. Катет 1: 800 м (на восток). Катет 2: 600 м (на север). Используем теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\). \(800^2 + 600^2 = c^2\) \(640000 + 360000 = c^2\) \(1000000 = c^2\) \(c = \sqrt{1000000}\) \(c = 1000 \text{ м}\) Ответ: Мальчик оказался на расстоянии 1000 м от дома. 4. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 15 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 8 м. Найдите длину троса. Решение: Флагшток стоит вертикально, трос натянут, образуя прямоугольный треугольник. Высота крепления троса — это один катет, равный 15 м. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле — это второй катет, равный 8 м. Длина троса — это гипотенуза. Используем теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\). \(15^2 + 8^2 = c^2\) \(225 + 64 = c^2\) \(289 = c^2\) \(c = \sqrt{289}\) \(c = 17 \text{ м}\) Ответ: Длина троса 17 м. 5. Длина стремянки в сложенном виде равна 1,85 м, а ее высота в разложенном виде составляет 1,48 м. Найдите расстояние (в метрах) между основаниями стремянки в разложенном виде. Решение: Стремянка в разложенном виде образует равнобедренный треугольник, где боковые стороны — это части стремянки, каждая длиной 1,85 м. Высота этого треугольника (1,48 м) делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом таком прямоугольном треугольнике: Гипотенуза — это длина части стремянки, 1,85 м. Один катет — это высота стремянки, 1,48 м. Второй катет — это половина расстояния между основаниями стремянки. Обозначим его за \(x\). Используем теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\). \(1,48^2 + x^2 = 1,85^2\) \(2,1904 + x^2 = 3,4225\) \(x^2 = 3,4225 - 2,1904\) \(x^2 = 1,2321\) \(x = \sqrt{1,2321}\) \(x = 1,11 \text{ м}\) Расстояние между основаниями стремянки равно \(2x\). \(2 \times 1,11 \text{ м} = 2,22 \text{ м}\) Ответ: Расстояние между основаниями стремянки в разложенном виде 2,22 м. 6. Пожарную лестницу длиной 13 м приставили к окну пятого этажа дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. На какой высоте расположено окно? Ответ дайте в метрах. Решение: Лестница, стена дома и земля образуют прямоугольный треугольник. Длина лестницы — это гипотенуза, равная 13 м. Расстояние от нижнего конца лестницы до стены — это один из катетов, равный 5 м. Высота, на которой расположено окно, — это второй катет. Обозначим его за \(h\). Используем теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\). \(5^2 + h^2 = 13^2\) \(25 + h^2 = 169\) \(h^2 = 169 - 25\) \(h^2 = 144\) \(h = \sqrt{144}\) \(h = 12 \text{ м}\) Ответ: Окно расположено на высоте 12 м.