Решение задачи 15: Найти AC в треугольнике ABC

Задача 15. В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(45^\circ\), угол \(B\) равен \(60^\circ\), \(BC = 3\sqrt{6}\). Найдите \(AC\). Решение: Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно для всех сторон и углов этого треугольника. То есть, для треугольника \(ABC\): \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] где \(a\) - сторона, противолежащая углу \(A\) (то есть \(BC\)), \(b\) - сторона, противолежащая углу \(B\) (то есть \(AC\)), \(c\) - сторона, противолежащая углу \(C\) (то есть \(AB\)). Нам даны: Угол \(A = 45^\circ\) Угол \(B = 60^\circ\) Сторона \(BC = 3\sqrt{6}\) Нам нужно найти сторону \(AC\). По теореме синусов мы можем записать: \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \] Подставим известные значения в формулу: \[ \frac{3\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ} \] Теперь найдем значения синусов: \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Подставим эти значения в уравнение: \[ \frac{3\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] Упростим левую часть уравнения: \[ \frac{3\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \] Мы можем упростить \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\) как \(\sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}\). Значит, левая часть равна: \[ 6\sqrt{3} \] Теперь уравнение выглядит так: \[ 6\sqrt{3} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] Чтобы найти \(AC\), умножим обе части уравнения на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ AC = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ AC = \frac{6 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} \] \[ AC = \frac{6 \cdot 3}{2} \] \[ AC = \frac{18}{2} \] \[ AC = 9 \] Таким образом, длина стороны \(AC\) равна 9. Ответ: 9