Решение задачи 17: Отрезки средней линии трапеции

Задача 17. Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. Решение: Пусть дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Пусть \(AD = 11\) (большее основание) и \(BC = 10\) (меньшее основание). Средняя линия трапеции, обозначим её \(MN\), соединяет середины боковых сторон \(AB\) и \(CD\). Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований: \[ MN = \frac{AD + BC}{2} \] \[ MN = \frac{11 + 10}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \] Одна из диагоналей трапеции, например, диагональ \(AC\), пересекает среднюю линию \(MN\) в некоторой точке \(K\). Средняя линия \(MN\) параллельна основаниям \(AD\) и \(BC\). Точка \(M\) является серединой стороны \(AB\). Рассмотрим треугольник \(ABC\). В этом треугольнике отрезок \(MK\) является средней линией, так как он параллелен \(BC\) (часть средней линии трапеции) и проходит через середину стороны \(AB\). По свойству средней линии треугольника, \(MK\) равен половине стороны \(BC\): \[ MK = \frac{BC}{2} \] \[ MK = \frac{10}{2} = 5 \] Теперь рассмотрим треугольник \(ACD\). В этом треугольнике отрезок \(KN\) также является средней линией, так как он параллелен \(AD\) (часть средней линии трапеции) и проходит через середину стороны \(CD\) (поскольку \(N\) - середина \(CD\)). По свойству средней линии треугольника, \(KN\) равен половине стороны \(AD\): \[ KN = \frac{AD}{2} \] \[ KN = \frac{11}{2} = 5.5 \] Средняя линия \(MN\) делится точкой \(K\) на два отрезка: \(MK\) и \(KN\). Мы нашли их длины: \(MK = 5\) \(KN = 5.5\) Нам нужно найти больший из этих отрезков. Сравниваем 5 и 5.5. Больший отрезок равен 5.5. Проверим, что сумма отрезков равна длине средней линии: \(MK + KN = 5 + 5.5 = 10.5\), что соответствует длине средней линии \(MN\). Ответ: 5.5