Решение:

Задача 16. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен \(6\sqrt{2}\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат. Решение: Пусть \(R\) - радиус окружности, описанной около квадрата. Пусть \(r\) - радиус окружности, вписанной в квадрат. Пусть \(a\) - сторона квадрата. 1. Связь радиуса описанной окружности с стороной квадрата. Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности. Длина диагонали квадрата со стороной \(a\) равна \(d = a\sqrt{2}\). Диаметр описанной окружности равен \(2R\). Значит, \(2R = a\sqrt{2}\). Отсюда, \(a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = \frac{2R\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}\). Нам дан радиус описанной окружности \(R = 6\sqrt{2}\). Найдем сторону квадрата \(a\): \[ a = R\sqrt{2} = (6\sqrt{2})\sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12 \] Итак, сторона квадрата равна 12. 2. Связь радиуса вписанной окружности с стороной квадрата. Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Диаметр вписанной окружности равен \(2r\). Значит, \(2r = a\). Отсюда, \(r = \frac{a}{2}\). Мы нашли сторону квадрата \(a = 12\). Теперь найдем радиус вписанной окружности \(r\): \[ r = \frac{12}{2} = 6 \] Таким образом, радиус окружности, вписанной в этот квадрат, равен 6. Ответ: 6