Решение задачи по геометрии: Найти AA1

Решим задачу по геометрии. Условие задачи: Дано: Прямая \(AA_1\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\). Точка \(A_1\) лежит в плоскости \(\alpha\). В плоскости \(\alpha\) лежит треугольник \(A_1BC\). Угол \(BA_1C = \alpha\). Угол \(A_1CB = \beta\). Сторона \(BC = m\). Угол \(A_1AC = \gamma\). Требуется найти значение \(x\), где \(x = AA_1\). Решение: Шаг 1: Рассмотрим треугольник \(A_1BC\). По теореме синусов для треугольника \(A_1BC\): \[ \frac{A_1C}{\sin(\angle A_1BC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BA_1C)} \] Мы знаем \(BC = m\) и \(\angle BA_1C = \alpha\). Найдем \(\angle A_1BC\). Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. \[ \angle A_1BC = 180^\circ - \angle BA_1C - \angle A_1CB \] \[ \angle A_1BC = 180^\circ - \alpha - \beta \] Теперь подставим известные значения в теорему синусов: \[ \frac{A_1C}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)} = \frac{m}{\sin(\alpha)} \] Используя свойство \(\sin(180^\circ - x) = \sin(x)\), получаем: \[ \frac{A_1C}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{m}{\sin(\alpha)} \] Отсюда выразим \(A_1C\): \[ A_1C = \frac{m \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)} \] Шаг 2: Рассмотрим треугольник \(AA_1C\). По условию, прямая \(AA_1\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\). Это означает, что \(AA_1\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \(\alpha\) и проходящей через точку \(A_1\). В частности, \(AA_1 \perp A_1C\). Следовательно, треугольник \(AA_1C\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(A_1\). В этом треугольнике нам известны: Катет \(AA_1 = x\). Катет \(A_1C\). Угол \(\angle A_1AC = \gamma\). В прямоугольном треугольнике \(AA_1C\) тангенс угла \(\gamma\) равен отношению противолежащего катета \(A_1C\) к прилежащему катету \(AA_1\): \[ \tan(\gamma) = \frac{A_1C}{AA_1} \] Подставим \(AA_1 = x\): \[ \tan(\gamma) = \frac{A_1C}{x} \] Отсюда выразим \(x\): \[ x = \frac{A_1C}{\tan(\gamma)} \] Шаг 3: Подставим выражение для \(A_1C\) из Шага 1 в выражение для \(x\) из Шага 2. \[ x = \frac{\frac{m \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)}}{\tan(\gamma)} \] \[ x = \frac{m \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha) \cdot \tan(\gamma)} \] Окончательный ответ: Значение \(x\) равно: \[ x = \frac{m \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha) \cdot \tan(\gamma)} \]