Решение задачи 18: Найти тангенс угла AOB

Задача 18. Найдите тангенс угла \(AOB\), изображённого на рисунке. Решение: Для того чтобы найти тангенс угла \(AOB\), нам нужно построить прямоугольный треугольник, используя точки \(O\), \(A\) и \(B\). На рисунке видно, что точка \(O\) находится в начале координат (или мы можем принять её за начало отсчёта). Точка \(A\) лежит на горизонтальной оси, а точка \(B\) находится выше горизонтальной оси. Опустим перпендикуляр из точки \(B\) на горизонтальную ось \(OA\). Пусть точка пересечения этого перпендикуляра с осью \(OA\) будет \(C\). Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник \(OCB\), где угол \(OCB\) равен \(90^\circ\). Угол \(AOB\) в данном случае совпадает с углом \(COB\). Теперь определим длины катетов \(OC\) и \(CB\) по клеточкам на рисунке. Каждая клеточка имеет сторону, равную 1 единице. 1. Длина катета \(OC\): Точка \(O\) находится в начале отсчёта. Точка \(C\) находится на горизонтальной оси. Посчитаем количество клеточек от \(O\) до \(C\). На рисунке видно, что точка \(C\) находится на расстоянии 2 клеточек от \(O\) по горизонтали. Значит, \(OC = 2\). 2. Длина катета \(CB\): Точка \(C\) находится на горизонтальной оси, а точка \(B\) находится над ней. Посчитаем количество клеточек от \(C\) до \(B\) по вертикали. На рисунке видно, что точка \(B\) находится на расстоянии 4 клеточек от \(C\) по вертикали. Значит, \(CB = 4\). Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Для угла \(AOB\) (или \(COB\)) в прямоугольном треугольнике \(OCB\): Противолежащий катет - это \(CB\). Прилежащий катет - это \(OC\). \[ \tan(\angle AOB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CB}{OC} \] Подставим найденные значения: \[ \tan(\angle AOB) = \frac{4}{2} \] \[ \tan(\angle AOB) = 2 \] Ответ: 2