Решение задачи по геометрии: найти длину AA1

Решим задачу по геометрии. Условие задачи: Дано: Прямая \(AA_1\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\). Точка \(A_1\) лежит в плоскости \(\alpha\). В плоскости \(\alpha\) лежит треугольник \(A_1BC\). Угол \(\angle BA_1C = \alpha\). Угол \(\angle A_1CB = \beta\). Сторона \(BC = m\). Угол \(\angle A_1AC = \gamma\). Требуется найти значение \(x\), где \(x = AA_1\). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(A_1BC\). Это треугольник, лежащий в плоскости \(\alpha\). Нам известны два угла \(\angle BA_1C = \alpha\) и \(\angle A_1CB = \beta\), а также сторона \(BC = m\), противолежащая углу \(\angle BA_1C\). Найдем сторону \(A_1C\). Для этого воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно для всех сторон. \[ \frac{A_1C}{\sin(\angle A_1BC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BA_1C)} \] Сначала найдем угол \(\angle A_1BC\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). \[ \angle A_1BC = 180^\circ - \angle BA_1C - \angle A_1CB \] \[ \angle A_1BC = 180^\circ - \alpha - \beta \] Теперь подставим это в теорему синусов: \[ \frac{A_1C}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)} = \frac{m}{\sin(\alpha)} \] Используя свойство \(\sin(180^\circ - x) = \sin(x)\), получаем: \[ \frac{A_1C}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{m}{\sin(\alpha)} \] Выразим \(A_1C\): \[ A_1C = \frac{m \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)} \] 2. Рассмотрим треугольник \(AA_1C\). По условию, прямая \(AA_1\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\). Это означает, что \(AA_1\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \(\alpha\) и проходящей через точку \(A_1\). В частности, \(AA_1 \perp A_1C\). Следовательно, треугольник \(AA_1C\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(A_1\). В этом прямоугольном треугольнике: Катет \(AA_1 = x\). Катет \(A_1C\) (мы его нашли в предыдущем шаге). Угол \(\angle A_1AC = \gamma\). Мы хотим найти \(x\). В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Для угла \(\gamma\): \[ \tan(\gamma) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{A_1C}{AA_1} \] Подставим \(AA_1 = x\): \[ \tan(\gamma) = \frac{A_1C}{x} \] Выразим \(x\): \[ x = \frac{A_1C}{\tan(\gamma)} \] 3. Подставим выражение для \(A_1C\) из шага 1 в выражение для \(x\) из шага 2. \[ x = \frac{\frac{m \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha)}}{\tan(\gamma)} \] Упростим выражение: \[ x = \frac{m \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha) \cdot \tan(\gamma)} \] Ответ: Значение \(x\) равно: \[ x = \frac{m \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha) \cdot \tan(\gamma)} \]