Задача 8. Тело массой \(m = 0,5\) кг подбросили с поверхности земли вертикально вверх, сообщив ему начальную кинетическую энергию \(E_К = 25\) Дж. На какую максимальную высоту \(h\) (в м) поднялось тело?
Решение:
Для решения этой задачи мы будем использовать закон сохранения энергии. В начальный момент времени, когда тело только подбросили, у него есть только кинетическая энергия. В момент достижения максимальной высоты, тело на мгновение останавливается, и вся его кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию.
1. Запишем известные данные:
- Масса тела \(m = 0,5\) кг
- Начальная кинетическая энергия \(E_К = 25\) Дж
- Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\) (можно округлить до \(10\) м/с\(^2\) для простоты расчетов в школе, но для точности используем \(9,8\)).
2. Запишем формулу для потенциальной энергии:
Потенциальная энергия тела на высоте \(h\) над землей определяется формулой:
\[E_П = mgh\]где \(m\) - масса тела, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота.
3. Применим закон сохранения энергии:
Согласно закону сохранения энергии, начальная кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную энергию на максимальной высоте:
\[E_К = E_П\] \[E_К = mgh\]4. Выразим высоту \(h\) из формулы:
Чтобы найти высоту, нужно разделить кинетическую энергию на произведение массы и ускорения свободного падения:
\[h = \frac{E_К}{mg}\]5. Подставим значения и рассчитаем:
\[h = \frac{25 \text{ Дж}}{0,5 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}\] \[h = \frac{25}{4,9} \text{ м}\] \[h \approx 5,10 \text{ м}\]Ответ: Тело поднялось на максимальную высоту примерно \(5,10\) м.
---
Задача 9. Мяч массой \(100\) г бросили вертикально вверх с поверхности земли. Поднявшись на высоту \(2\) м, мяч начал падать вниз. На какой высоте относительно земли его поймали, если известно, что в этот момент его кинетическая энергия была равна \(0,5\) Дж?
Решение:
В этой задаче также используется закон сохранения энергии. Мяч бросили вверх, он достиг максимальной высоты, а затем начал падать. В любой точке траектории сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной (если пренебречь сопротивлением воздуха).
1. Запишем известные данные:
- Масса мяча \(m = 100\) г. Переведем в килограммы: \(m = 100 \text{ г} = 0,1\) кг.
- Максимальная высота подъема \(h_{max} = 2\) м.
- Кинетическая энергия в момент поимки \(E_К = 0,5\) Дж.
- Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\).
2. Найдем полную механическую энергию мяча.
Полная механическая энергия мяча сохраняется. Удобнее всего рассчитать ее на максимальной высоте, где вся энергия является потенциальной (кинетическая энергия равна нулю).
Потенциальная энергия на максимальной высоте:
\[E_{П,max} = mgh_{max}\] \[E_{П,max} = 0,1 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ м}\] \[E_{П,max} = 1,96 \text{ Дж}\]Таким образом, полная механическая энергия мяча \(E_{полная} = 1,96\) Дж.
3. Запишем закон сохранения энергии для момента поимки мяча:
В момент поимки мяча у него есть и кинетическая, и потенциальная энергия. Сумма этих энергий равна полной механической энергии:
\[E_{полная} = E_К + E_П\]где \(E_П = mgh\), а \(h\) - это высота, на которой поймали мяч.
\[E_{полная} = E_К + mgh\]4. Выразим высоту \(h\) из формулы:
Сначала выразим потенциальную энергию в момент поимки:
\[mgh = E_{полная} - E_К\]Теперь выразим высоту \(h\):
\[h = \frac{E_{полная} - E_К}{mg}\]5. Подставим значения и рассчитаем:
\[h = \frac{1,96 \text{ Дж} - 0,5 \text{ Дж}}{0,1 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}\] \[h = \frac{1,46 \text{ Дж}}{0,98 \text{ Н}}\] \[h \approx 1,49 \text{ м}\]Ответ: Мяч поймали на высоте примерно \(1,49\) м относительно земли.