Задача 8. Тело массой \(m = 0,5\) кг подбросили с поверхности земли вертикально вверх, сообщив ему начальную кинетическую энергию \(E_К = 25\) Дж. На какую максимальную высоту \(h\) (в м) поднялось тело?
Решение:
Для решения этой задачи мы будем использовать закон сохранения энергии. В начальный момент времени, когда тело только подбросили, у него есть только кинетическая энергия. В момент достижения максимальной высоты, тело на мгновение останавливается, и вся его кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию.
1. Запишем известные данные:
- Масса тела \(m = 0,5\) кг
- Начальная кинетическая энергия \(E_К = 25\) Дж
- Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\) (для простоты расчетов в школьных задачах часто используют \(g = 10\) м/с\(^2\), но мы будем использовать более точное значение \(9,8\) м/с\(^2\)).
2. Запишем формулу для потенциальной энергии:
Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту \(h\), определяется формулой:
\[E_П = mgh\]где \(m\) - масса тела, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота.
3. Применим закон сохранения энергии:
Согласно закону сохранения энергии, начальная кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную энергию на максимальной высоте:
\[E_К = E_П\] \[E_К = mgh\]4. Выразим высоту \(h\) из формулы:
Чтобы найти высоту, нам нужно выразить \(h\) из уравнения:
\[h = \frac{E_К}{mg}\]5. Подставим значения и рассчитаем:
\[h = \frac{25 \text{ Дж}}{0,5 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}\] \[h = \frac{25}{4,9}\] \[h \approx 5,102 \text{ м}\]6. Округлим результат:
Округлим до одного знака после запятой, как это часто принято в школьных задачах, если не указано иное:
\[h \approx 5,1 \text{ м}\]Ответ: Тело поднялось на максимальную высоту примерно 5,1 м.
---
Задача 9. Мяч массой 100 г бросили вертикально вверх с поверхности земли. Поднявшись на высоту 2 м, мяч начал падать вниз. На какой высоте относительно земли его поймали, если известно, что в этот момент его кинетическая энергия была равна 0,5 Дж?
Решение:
В этой задаче мы также будем использовать закон сохранения энергии. В любой точке траектории сумма кинетической и потенциальной энергии мяча остается постоянной (если пренебречь сопротивлением воздуха).
1. Запишем известные данные:
- Масса мяча \(m = 100\) г. Переведем в килограммы: \(m = 100 \text{ г} = 0,1\) кг.
- Максимальная высота подъема \(h_{max} = 2\) м.
- Кинетическая энергия в момент поимки \(E_К = 0,5\) Дж.
- Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\).
2. Найдем полную механическую энергию мяча:
На максимальной высоте \(h_{max}\) вся энергия мяча является потенциальной, так как его скорость в этот момент равна нулю (кинетическая энергия равна нулю). Полная механическая энергия \(E_{полная}\) равна потенциальной энергии на максимальной высоте:
\[E_{полная} = E_{П,max} = mgh_{max}\] \[E_{полная} = 0,1 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ м}\] \[E_{полная} = 1,96 \text{ Дж}\]3. Запишем закон сохранения энергии для момента поимки:
В момент поимки мяча на некоторой высоте \(h\) у него есть как кинетическая, так и потенциальная энергия. Сумма этих энергий должна быть равна полной механической энергии:
\[E_{полная} = E_К + E_П\]где \(E_П = mgh\).
\[E_{полная} = E_К + mgh\]4. Выразим высоту \(h\) из формулы:
Нам нужно найти высоту \(h\), на которой поймали мяч. Выразим \(mgh\) из уравнения:
\[mgh = E_{полная} - E_К\]Теперь выразим \(h\):
\[h = \frac{E_{полная} - E_К}{mg}\]5. Подставим значения и рассчитаем:
\[h = \frac{1,96 \text{ Дж} - 0,5 \text{ Дж}}{0,1 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}\] \[h = \frac{1,46 \text{ Дж}}{0,98 \text{ Н}}\] \[h \approx 1,48979 \text{ м}\]6. Округлим результат:
Округлим до одного знака после запятой:
\[h \approx 1,5 \text{ м}\]Ответ: Мяч поймали на высоте примерно 1,5 м относительно земли.