Решение: Координаты вектора (Самостоятельная работа I вариант)

Самостоятельная работа по теме: «Координаты вектора» I вариант 1. Запишите координаты данных векторов, если их разложение по координатным векторам имеет вид: \( \vec{m} = 3\vec{i} - 5\vec{j} \) \( \vec{n} = 2\vec{j} \) \( \vec{k} = 4\vec{j} - \vec{i} \) Решение: Координаты вектора \( \vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} \) записываются как \( \vec{v} \{x; y\} \). Для вектора \( \vec{m} = 3\vec{i} - 5\vec{j} \): Коэффициент при \( \vec{i} \) равен 3. Коэффициент при \( \vec{j} \) равен -5. Значит, \( \vec{m} \{3; -5\} \). Для вектора \( \vec{n} = 2\vec{j} \): Коэффициент при \( \vec{i} \) равен 0 (так как \( \vec{i} \) отсутствует). Коэффициент при \( \vec{j} \) равен 2. Значит, \( \vec{n} \{0; 2\} \). Для вектора \( \vec{k} = 4\vec{j} - \vec{i} \): Сначала перепишем его в стандартном виде: \( \vec{k} = -\vec{i} + 4\vec{j} \). Коэффициент при \( \vec{i} \) равен -1. Коэффициент при \( \vec{j} \) равен 4. Значит, \( \vec{k} \{-1; 4\} \). Ответ: \( \vec{m} \{3; -5\} \) \( \vec{n} \{0; 2\} \) \( \vec{k} \{-1; 4\} \) 2. Запишите разложение данного вектора \( \vec{a} \{2; 1\} \) по координатным векторам. Решение: Если вектор имеет координаты \( \vec{a} \{x; y\} \), то его разложение по координатным векторам \( \vec{i} \) и \( \vec{j} \) имеет вид \( \vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} \). Для вектора \( \vec{a} \{2; 1\} \): Координата по оси x равна 2. Координата по оси y равна 1. Значит, \( \vec{a} = 2\vec{i} + 1\vec{j} \), или просто \( \vec{a} = 2\vec{i} + \vec{j} \). Ответ: \( \vec{a} = 2\vec{i} + \vec{j} \) 3. Найдите координаты векторов \( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \) и \( \vec{d} = \vec{a} - \vec{b} \), если \( \vec{a} \{-5; 0\} \) и \( \vec{b} \{2; -4\} \). Решение: Если даны векторы \( \vec{a} \{x_1; y_1\} \) и \( \vec{b} \{x_2; y_2\} \), то: Сумма векторов: \( \vec{a} + \vec{b} = \{x_1 + x_2; y_1 + y_2\} \) Разность векторов: \( \vec{a} - \vec{b} = \{x_1 - x_2; y_1 - y_2\} \) Для вектора \( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \): \( \vec{c} = \{-5 + 2; 0 + (-4)\} \) \( \vec{c} = \{-3; -4\} \) Для вектора \( \vec{d} = \vec{a} - \vec{b} \): \( \vec{d} = \{-5 - 2; 0 - (-4)\} \) \( \vec{d} = \{-7; 0 + 4\} \) \( \vec{d} = \{-7; 4\} \) Ответ: \( \vec{c} \{-3; -4\} \) \( \vec{d} \{-7; 4\} \) 4. Найдите координаты вектора \( \vec{p} = 3\vec{d} \), если \( \vec{d} \{5; -1\} \). Решение: Если вектор \( \vec{d} \{x; y\} \) и число \( k \), то произведение вектора на число \( k\vec{d} = \{kx; ky\} \). Для вектора \( \vec{p} = 3\vec{d} \), где \( \vec{d} \{5; -1\} \): \( \vec{p} = \{3 \cdot 5; 3 \cdot (-1)\} \) \( \vec{p} = \{15; -3\} \) Ответ: \( \vec{p} \{15; -3\} \) 5. Известно, что \( \vec{a} \{8; -2\} \), \( \vec{b} \{2; -3\} \). Найдите координаты вектора \( \vec{m} = \frac{1}{2}\vec{a} - 4\vec{b} \). Решение: Сначала найдем координаты вектора \( \frac{1}{2}\vec{a} \): \( \frac{1}{2}\vec{a} = \{\frac{1}{2} \cdot 8; \frac{1}{2} \cdot (-2)\} \) \( \frac{1}{2}\vec{a} = \{4; -1\} \) Затем найдем координаты вектора \( 4\vec{b} \): \( 4\vec{b} = \{4 \cdot 2; 4 \cdot (-3)\} \) \( 4\vec{b} = \{8; -12\} \) Теперь найдем координаты вектора \( \vec{m} = \frac{1}{2}\vec{a} - 4\vec{b} \): \( \vec{m} = \{4 - 8; -1 - (-12)\} \) \( \vec{m} = \{-4; -1 + 12\} \) \( \vec{m} = \{-4; 11\} \) Ответ: \( \vec{m} \{-4; 11\} \) 6. Найдите коллинеарные векторы: \( \vec{a} \{2; -8\} \), \( \vec{b} \{4; 2\} \), \( \vec{c} \{8; -2\} \), \( \vec{d} \{-1; 4\} \). Решение: Два ненулевых вектора \( \vec{u} \{x_1; y_1\} \) и \( \vec{v} \{x_2; y_2\} \) коллинеарны, если их координаты пропорциональны, то есть существует такое число \( k \), что \( x_2 = kx_1 \) и \( y_2 = ky_1 \). Это эквивалентно условию \( \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} \) (если соответствующие координаты не равны нулю). Если одна из координат равна нулю, то и соответствующая координата другого вектора должна быть равна нулю. Проверим пары векторов: Пара \( \vec{a} \{2; -8\} \) и \( \vec{b} \{4; 2\} \): \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) \( \frac{-8}{2} = -4 \) \( \frac{1}{2} \neq -4 \), значит, \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) не коллинеарны. Пара \( \vec{a} \{2; -8\} \) и \( \vec{c} \{8; -2\} \): \( \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \) \( \frac{-8}{-2} = 4 \) \( \frac{1}{4} \neq 4 \), значит, \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \) не коллинеарны. Пара \( \vec{a} \{2; -8\} \) и \( \vec{d} \{-1; 4\} \): Проверим пропорциональность: \( \frac{2}{-1} = -2 \) \( \frac{-8}{4} = -2 \) Так как \( -2 = -2 \), векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{d} \) коллинеарны. Действительно, \( \vec{a} = -2\vec{d} \) (или \( \vec{d} = -\frac{1}{2}\vec{a} \)). Пара \( \vec{b} \{4; 2\} \) и \( \vec{c} \{8; -2\} \): \( \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \) \( \frac{2}{-2} = -1 \) \( \frac{1}{2} \neq -1 \), значит, \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \) не коллинеарны. Пара \( \vec{b} \{4; 2\} \) и \( \vec{d} \{-1; 4\} \): \( \frac{4}{-1} = -4 \) \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) \( -4 \neq \frac{1}{2} \), значит, \( \vec{b} \) и \( \vec{d} \) не коллинеарны. Пара \( \vec{c} \{8; -2\} \) и \( \vec{d} \{-1; 4\} \): \( \frac{8}{-1} = -8 \) \( \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \) \( -8 \neq -\frac{1}{2} \), значит, \( \vec{c} \) и \( \vec{d} \) не коллинеарны. Единственная пара коллинеарных векторов - это \( \vec{a} \) и \( \vec{d} \). Ответ: Коллинеарные векторы: \( \vec{a} \{2; -8\} \) и \( \vec{d} \{-1; 4\} \). 7. Начертите прямоугольную систему координат XOY, выберите координатные векторы \( \vec{i} \) и \( \vec{j} \). Постройте векторы \( \vec{a} \{3; 1\} \), \( \vec{b} \{0; -4\} \), \( \vec{c} \{2; -5\} \), \( \vec{d} \{-2; -3\} \). Решение: Для выполнения этого задания необходимо начертить систему координат на листе бумаги. Шаги построения: 1. Начертите две взаимно перпендикулярные прямые. Горизонтальная прямая - это ось X (ось абсцисс), вертикальная прямая - это ось Y (ось ординат). 2. Точка их пересечения - начало координат, обозначьте её буквой O. 3. Выберите единичный отрезок (например, 1 клетка тетради) и отложите его на каждой оси. Отметьте стрелками положительные направления осей (вправо для X, вверх для Y). 4. Обозначьте координатные векторы: \( \vec{i} \) - единичный вектор, направленный вдоль положительной оси X. Его координаты \( \{1; 0\} \). \( \vec{j} \) - единичный вектор, направленный вдоль положительной оси Y. Его координаты \( \{0; 1\} \). 5. Постройте векторы, исходящие из начала координат (радиус-векторы): Для вектора \( \vec{a} \{3; 1\} \): Отложите 3 единицы по оси X вправо и 1 единицу по оси Y вверх. Конечная точка вектора будет в точке с координатами (3; 1). Проведите стрелку от начала координат до этой точки. Для вектора \( \vec{b} \{0; -4\} \): Отложите 0 единиц по оси X и 4 единицы по оси Y вниз (так как координата отрицательная). Конечная точка вектора будет в точке с координатами (0; -4). Проведите стрелку от начала координат до этой точки. Для вектора \( \vec{c} \{2; -5\} \): Отложите 2 единицы по оси X вправо и 5 единиц по оси Y вниз. Конечная точка вектора будет в точке с координатами (2; -5). Проведите стрелку от начала координат до этой точки. Для вектора \( \vec{d} \{-2; -3\} \): Отложите 2 единицы по оси X влево (так как координата отрицательная) и 3 единицы по оси Y вниз. Конечная точка вектора будет в точке с координатами (-2; -3). Проведите стрелку от начала координат до этой точки. (Нарисовать это здесь невозможно, но описание дает четкие инструкции для построения в тетради). Ответ: Построение выполнено согласно описанию.