Задание 19
Какие из следующих утверждений верны? 1) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон. 2) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. 3) Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны. В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.Решение:
Рассмотрим каждое утверждение: 1) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон. Это утверждение верно. Квадрат является частным случаем прямоугольника, и его площадь вычисляется как произведение длины на ширину. Поскольку у квадрата все стороны равны, то площадь \(S = a \cdot a = a^2\), где \(a\) - длина стороны. Произведение двух смежных сторон как раз и дает \(a^2\). 2) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. Это утверждение неверно. Например, в тупоугольном треугольнике один из углов может быть больше 90 градусов, а два других угла будут меньше 60 градусов. Но если взять равносторонний треугольник, то все его углы равны 60 градусам. Если взять треугольник с углами 70, 70 и 40 градусов, то ни один из углов не превышает 60 градусов, но это не значит, что *всегда* один из углов не превышает 60 градусов. На самом деле, в любом треугольнике сумма углов равна 180 градусам. Если бы все углы были больше 60 градусов, например, 61, 61, 61, то сумма была бы \(3 \cdot 61 = 183\) градуса, что невозможно. Значит, хотя бы один угол должен быть меньше или равен 60 градусам. Утверждение "Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов" означает, что существует хотя бы один угол, который \(\le 60^\circ\). Это верно. Однако, формулировка "Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов" может быть истолкована как "существует такой угол, который всегда меньше или равен 60 градусов". Это верно. Давайте перечитаем внимательно: "Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов". Это означает, что в любом треугольнике найдется хотя бы один угол, который меньше или равен 60 градусам. Если бы все углы были больше 60 градусов, то их сумма была бы больше \(3 \cdot 60 = 180\) градусов, что противоречит теореме о сумме углов треугольника. Значит, это утверждение верно. 3) Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны. Это утверждение неверно. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Параллельные прямые не перпендикулярны (если только они не совпадают, но даже в этом случае понятие перпендикулярности к себе не применяется в таком контексте). Например, если прямая \(a\) параллельна прямой \(c\), и прямая \(b\) параллельна прямой \(c\), то прямая \(a\) параллельна прямой \(b\).Вывод:
Верными являются утверждения 1 и 2.Ответ:
12ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ №2. Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите чётко и разборчиво.Задание 20
Решите уравнение: \(x^2 - 2x + \sqrt{4 - x} = \sqrt{4 - x} + 15\)Решение:
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной \(x\). Под корнем квадратным должно быть неотрицательное число: \(4 - x \ge 0\) \(4 \ge x\) \(x \le 4\) Теперь упростим уравнение. Заметим, что с обеих сторон уравнения есть слагаемое \(\sqrt{4 - x}\). Вычтем его из обеих частей уравнения: \(x^2 - 2x + \sqrt{4 - x} - \sqrt{4 - x} = \sqrt{4 - x} - \sqrt{4 - x} + 15\) \(x^2 - 2x = 15\) Перенесем 15 в левую часть уравнения: \(x^2 - 2x - 15 = 0\) Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Используем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-15\). \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)\) \(D = 4 + 60\) \(D = 64\) Найдем корни уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) \(x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5\) \(x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3\) Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ \(x \le 4\). Для \(x_1 = 5\): \(5 \le 4\) - это неверно. Значит, \(x_1 = 5\) не является решением. Для \(x_2 = -3\): \(-3 \le 4\) - это верно. Значит, \(x_2 = -3\) является решением.Ответ:
\(-3\)Задание 21
Первые 160 км автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие 100 км - со скоростью 50 км/ч, а последние 360 км - со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.Решение:
Средняя скорость определяется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени. Формула для средней скорости: \(V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}\) Сначала найдем общий пройденный путь \(S_{общ}\). Путь состоит из трех участков: \(S_1 = 160\) км, \(S_2 = 100\) км, \(S_3 = 360\) км. \(S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 160 + 100 + 360 = 620\) км. Теперь найдем время, затраченное на каждый участок пути. Формула для времени: \(t = \frac{S}{V}\). Время на первом участке: \(t_1 = \frac{S_1}{V_1} = \frac{160 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 2\) часа. Время на втором участке: \(t_2 = \frac{S_2}{V_2} = \frac{100 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 2\) часа. Время на третьем участке: \(t_3 = \frac{S_3}{V_3} = \frac{360 \text{ км}}{90 \text{ км/ч}} = 4\) часа. Найдем общее затраченное время \(t_{общ}\). \(t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = 2 + 2 + 4 = 8\) часов. Теперь вычислим среднюю скорость. \(V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{620 \text{ км}}{8 \text{ ч}}\) Выполним деление: \(620 \div 8 = 310 \div 4 = 155 \div 2 = 77.5\) Значит, средняя скорость автомобиля составляет 77.5 км/ч.Ответ:
77.5Задание 22
Постройте график функции: \[y = \begin{cases} x - 0.5, & \text{если } x < -2 \\ -2x - 6.5, & \text{если } -2 \le x \le -1 \\ x - 3.5, & \text{если } x > -1 \end{cases}\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.Решение:
Построим график функции по частям. Каждая часть является линейной функцией, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. 1. Первый участок: \(y = x - 0.5\), если \(x < -2\). Найдем значение функции на границе интервала (не включая ее): При \(x = -2\), \(y = -2 - 0.5 = -2.5\). Отметим точку \((-2; -2.5)\) выколотой. Возьмем еще одну точку, например, \(x = -3\): \(y = -3 - 0.5 = -3.5\). Точка \((-3; -3.5)\). Это луч, идущий из точки \((-2; -2.5)\) влево и вниз. 2. Второй участок: \(y = -2x - 6.5\), если \(-2 \le x \le -1\). Найдем значения функции на границах интервала (включая их): При \(x = -2\), \(y = -2(-2) - 6.5 = 4 - 6.5 = -2.5\). Точка \((-2; -2.5)\). Эта точка совпадает с выколотой точкой первого участка, поэтому она теперь закрашена. При \(x = -1\), \(y = -2(-1) - 6.5 = 2 - 6.5 = -4.5\). Точка \((-1; -4.5)\). Это отрезок, соединяющий точки \((-2; -2.5)\) и \((-1; -4.5)\). 3. Третий участок: \(y = x - 3.5\), если \(x > -1\). Найдем значение функции на границе интервала (не включая ее): При \(x = -1\), \(y = -1 - 3.5 = -4.5\). Отметим точку \((-1; -4.5)\) выколотой. Возьмем еще одну точку, например, \(x = 0\): \(y = 0 - 3.5 = -3.5\). Точка \((0; -3.5)\). Это луч, идущий из точки \((-1; -4.5)\) вправо и вверх.Теперь проанализируем график, чтобы определить, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) (горизонтальная прямая) имеет ровно одну общую точку с графиком. Построим график (описание): * Левый луч начинается в \((-2; -2.5)\) (выколотая точка) и идет вниз-влево. * Отрезок соединяет \((-2; -2.5)\) (закрашенная точка) и \((-1; -4.5)\) (закрашенная точка). * Правый луч начинается в \((-1; -4.5)\) (выколотая точка) и идет вверх-вправо. Заметим, что точка \((-2; -2.5)\) принадлежит второму участку, а точка \((-1; -4.5)\) принадлежит второму участку. Таким образом, график состоит из двух лучей и отрезка, которые соединены в точках \((-2; -2.5)\) и \((-1; -4.5)\). Рассмотрим значения \(y\): * На первом участке \(y = x - 0.5\). При \(x \to -\infty\), \(y \to -\infty\). При \(x \to -2\), \(y \to -2.5\). * На втором участке \(y = -2x - 6.5\). При \(x = -2\), \(y = -2.5\). При \(x = -1\), \(y = -4.5\). * На третьем участке \(y = x - 3.5\). При \(x \to -1\), \(y \to -4.5\). При \(x \to +\infty\), \(y \to +\infty\). Минимальное значение функции достигается в точке \((-1; -4.5)\), где \(y = -4.5\). Максимального значения нет, функция стремится к \(\infty\) при \(x \to \infty\) и к \(\infty\) при \(x \to -\infty\). Теперь найдем количество пересечений прямой \(y=m\) с графиком: 1. Если \(m < -4.5\): Прямая \(y=m\) пересекает левый луч в одной точке и правый луч в одной точке. Итого 2 точки. 2. Если \(m = -4.5\): Прямая \(y = -4.5\) проходит через точку \((-1; -4.5)\). В этой точке сходятся второй и третий участки. * Второй участок: \(y = -2x - 6.5\). При \(x = -1\), \(y = -4.5\). Точка \((-1; -4.5)\) принадлежит отрезку. * Третий участок: \(y = x - 3.5\). При \(x = -1\), \(y = -4.5\). Точка \((-1; -4.5)\) является началом луча, но не включена в него. Однако, если мы посмотрим на график, то точка \((-1; -4.5)\) является "углом" графика. Левый луч идет до \((-2; -2.5)\), отрезок от \((-2; -2.5)\) до \((-1; -4.5)\), правый луч от \((-1; -4.5)\). При \(m = -4.5\), прямая \(y = -4.5\) проходит через точку \((-1; -4.5)\). Эта точка является концом отрезка \([-2; -1]\) и началом луча \(( -1; +\infty)\). Таким образом, при \(m = -4.5\) прямая \(y = m\) пересекает график в одной точке \((-1; -4.5)\). 3. Если \(-4.5 < m < -2.5\): Прямая \(y=m\) пересекает отрезок \([-2; -1]\) в одной точке и правый луч в одной точке. Итого 2 точки. 4. Если \(m = -2.5\): Прямая \(y = -2.5\) проходит через точку \((-2; -2.5)\). В этой точке сходятся первый и второй участки. * Первый участок: \(y = x - 0.5\). При \(x = -2\), \(y = -2.5\). Точка \((-2; -2.5)\) является концом луча, но не включена в него. * Второй участок: \(y = -2x - 6.5\). При \(x = -2\), \(y = -2.5\). Точка \((-2; -2.5)\) является началом отрезка и включена в него. Таким образом, при \(m = -2.5\) прямая \(y = m\) пересекает график в одной точке \((-2; -2.5)\). 5. Если \(m > -2.5\): Прямая \(y=m\) пересекает левый луч в одной точке и правый луч в одной точке. Итого 2 точки.
Давайте перепроверим внимательно. График функции: * Луч 1: \(y = x - 0.5\), \(x < -2\). Значения \(y\) от \(-\infty\) до \(-2.5\) (не включая). * Отрезок 2: \(y = -2x - 6.5\), \(-2 \le x \le -1\). Значения \(y\) от \(-2.5\) до \(-4.5\). При \(x = -2\), \(y = -2.5\). При \(x = -1\), \(y = -4.5\). * Луч 3: \(y = x - 3.5\), \(x > -1\). Значения \(y\) от \(-4.5\) (не включая) до \(+\infty\). Объединяем: * Точка \((-2; -2.5