Задача 7
Найдите функцию распределения \(F(x)\) и изобразите многоугольник распределения дискретной случайной величины \(X\), распределение вероятностей которой задано следующей таблицей:
| \(X\) | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 |
| \(P(X)\) | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
Решение:
Функция распределения \(F(x)\) для дискретной случайной величины определяется как сумма вероятностей всех значений случайной величины, которые меньше или равны \(x\).
Для нашей случайной величины \(X\) с заданными значениями и вероятностями:
- Если \(x \le 0,1\), то \(F(x) = P(X \le x) = 0\).
- Если \(0,1 < x \le 0,2\), то \(F(x) = P(X \le x) = P(X=0,1) = 0,1\).
- Если \(0,2 < x \le 0,3\), то \(F(x) = P(X \le x) = P(X=0,1) + P(X=0,2) = 0,1 + 0,1 = 0,2\).
- Если \(0,3 < x \le 0,4\), то \(F(x) = P(X \le x) = P(X=0,1) + P(X=0,2) + P(X=0,3) = 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3\).
- Если \(0,4 < x \le 0,5\), то \(F(x) = P(X \le x) = P(X=0,1) + P(X=0,2) + P(X=0,3) + P(X=0,4) = 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 = 0,5\).
- Если \(x > 0,5\), то \(F(x) = P(X \le x) = P(X=0,1) + P(X=0,2) + P(X=0,3) + P(X=0,4) + P(X=0,5) = 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,3 = 1\).
Таким образом, функция распределения \(F(x)\) имеет вид:
\[ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \le 0,1 \\ 0,1, & \text{при } 0,1 < x \le 0,2 \\ 0,2, & \text{при } 0,2 < x \le 0,3 \\ 0,3, & \text{при } 0,3 < x \le 0,4 \\ 0,5, & \text{при } 0,4 < x \le 0,5 \\ 1, & \text{при } x > 0,5 \end{cases} \]Многоугольник распределения:
Многоугольник распределения строится по точкам \((x_i, P(X=x_i))\). На горизонтальной оси откладываются значения \(X\), на вертикальной оси — соответствующие вероятности \(P(X)\). Затем эти точки соединяются отрезками.
Точки для построения многоугольника:
- (0,1; 0,1)
- (0,2; 0,1)
- (0,3; 0,1)
- (0,4; 0,2)
- (0,5; 0,3)
(Здесь должен быть график. Поскольку я текстовый помощник, я не могу нарисовать график. Представьте себе график, где по оси X отложены значения 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, а по оси Y - соответствующие вероятности. Точки (0.1, 0.1), (0.2, 0.1), (0.3, 0.1), (0.4, 0.2), (0.5, 0.3) соединены отрезками.)
Задача 8
Найдите \(M(X)\), \(D(X)\) и \(\sigma(X)\) случайной величины \(X\) из предыдущей задачи.
Решение:
Математическое ожидание \(M(X)\):
Математическое ожидание для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
\[ M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i) \]Подставим значения из таблицы:
\[ M(X) = 0,1 \cdot 0,1 + 0,2 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,1 + 0,4 \cdot 0,2 + 0,5 \cdot 0,3 \] \[ M(X) = 0,01 + 0,02 + 0,03 + 0,08 + 0,15 \] \[ M(X) = 0,29 \]Дисперсия \(D(X)\):
Дисперсия вычисляется по формуле:
\[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \]Сначала найдем \(M(X^2)\):
\[ M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot P(X=x_i) \] \[ M(X^2) = (0,1)^2 \cdot 0,1 + (0,2)^2 \cdot 0,1 + (0,3)^2 \cdot 0,1 + (0,4)^2 \cdot 0,2 + (0,5)^2 \cdot 0,3 \] \[ M(X^2) = 0,01 \cdot 0,1 + 0,04 \cdot 0,1 + 0,09 \cdot 0,1 + 0,16 \cdot 0,2 + 0,25 \cdot 0,3 \] \[ M(X^2) = 0,001 + 0,004 + 0,009 + 0,032 + 0,075 \] \[ M(X^2) = 0,121 \]Теперь вычислим \(D(X)\):
\[ D(X) = 0,121 - (0,29)^2 \] \[ D(X) = 0,121 - 0,0841 \] \[ D(X) = 0,0369 \]Среднее квадратическое отклонение \(\sigma(X)\):
Среднее квадратическое отклонение — это квадратный корень из дисперсии:
\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \] \[ \sigma(X) = \sqrt{0,0369} \] \[ \sigma(X) \approx 0,1921 \]Ответ:
\(M(X) = 0,29\)
\(D(X) = 0,0369\)
\(\sigma(X) \approx 0,1921\)
Задача 9
Найдите \(A\) и функцию распределения \(F(x)\) непрерывной случайной величины \(X\), плотность распределения \(f(x)\) которой задана следующей формулой:
\[ f(x) = \begin{cases} Ax^3, & \text{для всех } x \in [0, 1] \\ 0, & \text{если } x \notin [0, 1] \end{cases} \]Решение:
Нахождение константы \(A\):
Для любой плотности распределения вероятностей \(f(x)\) должно выполняться условие нормировки:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 \]В нашем случае, функция \(f(x)\) отлична от нуля только на отрезке \([0, 1]\). Поэтому интеграл будет выглядеть так:
\[ \int_{0}^{1} Ax^3 dx = 1 \]Вычислим интеграл:
\[ A \int_{0}^{1} x^3 dx = 1 \] \[ A \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = 1 \] \[ A \left( \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = 1 \] \[ A \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = 1 \] \[ \frac{A}{4} = 1 \] \[ A = 4 \]Нахождение функции распределения \(F(x)\):
Функция распределения \(F(x)\) для непрерывной случайной величины определяется как:
\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt \]Рассмотрим различные интервалы для \(x\):
1. Если \(x \le 0\):
\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 \, dt = 0 \]2. Если \(0 < x \le 1\):
\[ F(x) = \int_{-\infty}^{0} 0 \, dt + \int_{0}^{x} 4t^3 \, dt \] \[ F(x) = 0 + 4 \left[ \frac{t^4}{4} \right]_{0}^{x} \] \[ F(x) = 4 \left( \frac{x^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) \] \[ F(x) = x^4 \]3. Если \(x > 1\):
\[ F(x) = \int_{-\infty}^{0} 0 \, dt + \int_{0}^{1} 4t^3 \, dt + \int_{1}^{x} 0 \, dt \] \[ F(x) = 0 + 4 \left[ \frac{t^4}{4} \right]_{0}^{1} + 0 \] \[ F(x) = 4 \left( \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) \] \[ F(x) = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 \]Таким образом, функция распределения \(F(x)\) имеет вид:
\[ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \le 0 \\ x^4, & \text{при } 0 < x \le 1 \\ 1, & \text{при } x > 1 \end{cases} \]Ответ:
\(A = 4\)
Функция распределения \(F(x)\):
\[ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \le 0 \\ x^4, & \text{при } 0 < x \le 1 \\ 1, & \text{при } x > 1 \end{cases} \]Задача 10
Найти \(M(X)\), \(D(X)\) и \(\sigma(X)\), где \(X\) из предыдущей задачи.
Решение:
Плотность распределения \(f(x)\) с найденным \(A=4\) выглядит так:
\[ f(x) = \begin{cases} 4x^3, & \text{для всех } x \in [0, 1] \\ 0, & \text{если } x \notin [0, 1] \end{cases} \]Математическое ожидание \(M(X)\):
Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле:
\[ M(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \]Подставим нашу функцию \(f(x)\):
\[ M(X) = \int_{0}^{1} x \cdot (4x^3) dx \] \[ M(X) = \int_{0}^{1} 4x^4 dx \] \[ M(X) = 4 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} \] \[ M(X) = 4 \left( \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) \] \[ M(X) = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = 0,8 \]Дисперсия \(D(X)\):
Дисперсия вычисляется по формуле:
\[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \]Сначала найдем \(M(X^2)\):
\[ M(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx \] \[ M(X^2) = \int_{0}^{1} x^2 \cdot (4x^3) dx \] \[ M(X^2) = \int_{0}^{1} 4x^5 dx \] \[ M(X^2) = 4 \left[ \frac{x^6}{6} \right]_{0}^{1} \] \[ M(X^2) = 4 \left( \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} \right) \] \[ M(X^2) = 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]Теперь вычислим \(D(X)\):
\[ D(X) = \frac{2}{3} - (0,8)^2 \] \[ D(X) = \frac{2}{3} - \left(\frac{4}{5}\right)^2 \] \[ D(X) = \frac{2}{3} - \frac{16}{25} \]Приведем к общему знаменателю (75):
\[ D(X) = \frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 25} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} \] \[ D(X) = \frac{50}{75} - \frac{48}{75} \] \[ D(X) = \frac{2}{75} \]В десятичном виде: \(D(X) \approx 0,02666...\)
Среднее квадратическое отклонение \(\sigma(X)\):
\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \] \[ \sigma(X) = \sqrt{\frac{2}{75}} \] \[ \sigma(X) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{75}} = \frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{3}} \]Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):
\[ \sigma(X) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6