Решение задачи: Вертикальные напряжения в грунте от плит

Задача 2. Горизонтальная поверхность массива грунта по прямоугольным плитам с размерами в плане \(l_1 \times b_1\) и \(l_2 \times b_2\) нагружена равномерно распределенной вертикальной нагрузкой интенсивностью \(N_1\) и \(N_2\). Определить значения вертикальных составляющих напряжений \(\sigma_z\) от совместного действия внешних нагрузок в точках массива грунта для заданной вертикали, проходящей через одну из точек \(M_1, M_2, M_3\) на плите № 1. Расстояние между осями плит \(L\). Точки по вертикали расположить от поверхности на расстоянии 1.0, 2.0, 4.0 и 6.0. По вычисленным напряжениям построить эпюру распределения \(\sigma_z\). Исходные данные приведены в табл. 2. Схема к расчету представлена на рис. 2. Исходные данные (Вариант 3): \(l_1 = 2.9\) м \(b_1 = 2.6\) м \(l_2 = 3.5\) м \(b_2 = 2.5\) м \(N_1 = 0.32\) МПа \(N_2 = 0.29\) МПа \(L = 3.5\) м Расчетная вертикаль: \(M_3\) Решение: Для определения вертикальных напряжений \(\sigma_z\) от равномерно распределенной нагрузки на прямоугольной площади используется метод угловых точек. Напряжение в любой точке под центром прямоугольника или под его углом можно найти, используя коэффициент влияния \(K\). Формула для определения вертикального напряжения \(\sigma_z\) под углом прямоугольной нагрузки: \[ \sigma_z = N \cdot K \] где \(N\) - интенсивность равномерно распределенной нагрузки, \(K\) - коэффициент влияния. Коэффициент влияния \(K\) определяется по формуле: \[ K = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{2mn\sqrt{1+m^2+n^2}}{(1+m^2)(1+n^2)+m^2n^2} \cdot \frac{1+m^2+n^2}{1+m^2+n^2} + \arctan\left(\frac{2mn\sqrt{1+m^2+n^2}}{1+m^2+n^2-m^2n^2}\right) \right] \] или по таблицам/графикам, где \(m = \frac{l}{z}\) и \(n = \frac{b}{z}\) (или наоборот), \(l\) и \(b\) - размеры прямоугольника, \(z\) - глубина. В данной задаче нам нужно определить напряжения в точках на вертикали, проходящей через \(M_3\) на плите №1. Точки расположены на глубинах \(z = 1.0, 2.0, 4.0, 6.0\) м. Плита №1 имеет размеры \(l_1 = 2.9\) м и \(b_1 = 2.6\) м. Плита №2 имеет размеры \(l_2 = 3.5\) м и \(b_2 = 2.5\) м. Расстояние между осями плит \(L = 3.5\) м. Точка \(M_3\) на плите №1 находится на расстоянии \(0.5b_1\) от одной стороны и \(0.5a_1\) от другой стороны (где \(a_1\) - это \(l_1\)). То есть, \(M_3\) находится на середине одной из сторон плиты №1. Для расчета напряжения в точке \(M_3\) от плиты №1, мы можем разбить плиту №1 на два прямоугольника, для которых \(M_3\) будет угловой точкой. Размеры плиты №1: \(l_1 = 2.9\) м, \(b_1 = 2.6\) м. Точка \(M_3\) находится на расстоянии \(0.5b_1 = 0.5 \cdot 2.6 = 1.3\) м от центральной оси по ширине и на расстоянии \(0.5l_1 = 0.5 \cdot 2.9 = 1.45\) м от центральной оси по длине. По рисунку, точка \(M_3\) находится на середине одной из длинных сторон плиты №1. Значит, для расчета напряжения от плиты №1 в точке \(M_3\), мы можем рассмотреть два прямоугольника с размерами \(l_1 \times 0.5b_1\), для которых \(M_3\) является угловой точкой. Или, что проще, использовать принцип суперпозиции. Напряжение в точке \(M_3\) от плиты №1 можно найти, если представить плиту как сумму или разность прямоугольников, для которых \(M_3\) является угловой точкой. Однако, по рисунку, \(M_3\) находится на середине одной из сторон плиты. Это означает, что для расчета напряжения от плиты №1 в точке \(M_3\), мы можем рассмотреть два прямоугольника с размерами \(l_1 \times (b_1/2)\), для которых \(M_3\) является угловой точкой. Размеры этих прямоугольников: \(l = l_1 = 2.9\) м, \(b = b_1/2 = 2.6/2 = 1.3\) м. Тогда \(\sigma_{z1}(M_3)\) от плиты №1 будет равно \(2 \cdot N_1 \cdot K(l_1, b_1/2, z)\). Теперь рассмотрим влияние плиты №2. Плита №2 имеет размеры \(l_2 = 3.5\) м и \(b_2 = 2.5\) м. Расстояние между осями плит \(L = 3.5\) м. Точка \(M_3\) находится на плите №1. Расстояние от оси плиты №1 до оси плиты №2 равно \(L\). Расстояние от точки \(M_3\) до оси плиты №1 по ширине равно \(0.5b_1 = 1.3\) м. Расстояние от точки \(M_3\) до оси плиты №1 по длине равно \(0.5l_1 = 1.45\) м. По рисунку, точка \(M_3\) находится на середине стороны \(l_1\). Значит, расстояние от точки \(M_3\) до оси плиты №1 по оси \(x\) (вдоль \(L\)) равно \(0.5l_1 = 1.45\) м. Расстояние от точки \(M_3\) до оси плиты №2 по оси \(x\) будет \(L - 0.5l_1 = 3.5 - 1.45 = 2.05\) м. Расстояние от точки \(M_3\) до оси плиты №2 по оси \(y\) будет \(0.5b_2 = 0.5 \cdot 2.5 = 1.25\) м. Для расчета напряжения от плиты №2 в точке \(M_3\), мы можем использовать метод угловых точек, разбив плиту №2 на четыре прямоугольника, или использовать принцип суперпозиции. Рассмотрим точку \(M_3\) как вершину прямоугольника, образованного от плиты №2. Координаты точки \(M_3\) относительно центра плиты №2: По оси \(x\): \(x_{M_3} = L - 0.5l_1 = 3.5 - 1.45 = 2.05\) м. По оси \(y\): \(y_{M_3} = 0.5b_1 = 1.3\) м. Для плиты №2: \(l_2 = 3.5\) м, \(b_2 = 2.5\) м. Центр плиты №2 находится на расстоянии \(L\) от центра плиты №1. Точка \(M_3\) находится на расстоянии \(0.5l_1\) от центра плиты №1 по оси \(x\) и \(0.5b_1\) от центра плиты №1 по оси \(y\). Расстояние от точки \(M_3\) до ближайшего угла плиты №2: По оси \(x\): \(x_1 = L - 0.5l_1 - 0.5l_2 = 3.5 - 1.45 - 1.75 = 0.3\) м. По оси \(y\): \(y_1 = 0.5b_1 - 0.5b_2 = 1.3 - 1.25 = 0.05\) м. Это не совсем корректно. Проще использовать метод угловых точек. Напряжение в точке \(M_3\) от плиты №2 можно найти, представив плиту №2 как сумму четырех прямоугольников, для которых точка \(M_3\) является угловой точкой. Или, что более удобно, использовать формулу для напряжения под произвольной точкой. Однако, для школьника, удобнее использовать метод угловых точек. Рассмотрим плиту №2. Точка \(M_3\) находится вне плиты №2. Для расчета напряжения в точке \(M_3\) от плиты №2, мы можем представить плиту №2 как сумму четырех прямоугольников, для которых точка \(M_3\) является угловой точкой. Пусть \(x\) и \(y\) - расстояния от точки \(M_3\) до сторон плиты №2. Расстояние от точки \(M_3\) до левой стороны плиты №2: \(x_L = L - 0.5l_1 - 0.5l_2 = 3.5 - 1.45 - 1.75 = 0.3\) м. Расстояние от точки \(M_3\) до правой стороны плиты №2: \(x_R = L - 0.5l_1 + 0.5l_2 = 3.5 - 1.45 + 1.75 = 3.8\) м. Расстояние от точки \(M_3\) до нижней стороны плиты №2: \(y_B = 0.5b_1 - 0.5b_2 = 1.3 - 1.25 = 0.05\) м. Расстояние от точки \(M_3\) до верхней стороны плиты №2: \(y_T = 0.5b_1 + 0.5b_2 = 1.3 + 1.25 = 2.55\) м. Тогда напряжение \(\sigma_{z2}(M_3)\) от плиты №2 будет: \[ \sigma_{z2}(M_3) = N_2 \cdot [K(x_R, y_T, z) - K(x_L, y_T, z) - K(x_R, y_B, z) + K(x_L, y_B, z)] \] Это формула для напряжения в точке, находящейся вне прямоугольника. Давайте упростим расчет коэффициента \(K\). Для школьника удобнее использовать таблицы или упрощенные формулы. В данном случае, будем использовать формулу для \(K\). Расчет для плиты №1 (нагрузка \(N_1 = 0.32\) МПа): Точка \(M_3\) находится на середине стороны \(l_1\). Для расчета напряжения от плиты №1 в точке \(M_3\), мы можем рассмотреть два прямоугольника с размерами \(l_1 \times (b_1/2)\), для которых \(M_3\) является угловой точкой. Размеры прямоугольника: \(l = l_1 = 2.9\) м, \(b = b_1/2 = 2.6/2 = 1.3\) м. Тогда \(\sigma_{z1}(M_3) = 2 \cdot N_1 \cdot K(l_1, b_1/2, z)\). Расчет для плиты №2 (нагрузка \(N_2 = 0.29\) МПа): Координаты углов плиты №2 относительно точки \(M_3\): Угол 1 (ближний к \(M_3\)): \(x_1 = L - 0.5l_1 - 0.5l_2 = 3.5 - 1.45 - 1.75 = 0.3\) м, \(y_1 = 0.5b_1 - 0.5b_2 = 1.3 - 1.25 = 0.05\) м. Угол 2: \(x_2 = L - 0.5l_1 + 0.5l_2 = 3.5 - 1.45 + 1.75 = 3.8\) м, \(y_2 = 0.5b_1 - 0.5b_2 = 0.05\) м. Угол 3: \(x_3 = L - 0.5l_1 - 0.5l_2 = 0.3\) м, \(y_3 = 0.5b_1 + 0.5b_2 = 1.3 + 1.25 = 2.55\) м. Угол 4: \(x_4 = L - 0.5l_1 + 0.5l_2 = 3.8\) м, \(y_4 = 0.5b_1 + 0.5b_2 = 2.55\) м. Тогда \(\sigma_{z2}(M_3) = N_2 \cdot [K(x_4, y_4, z) - K(x_3, y_3, z) - K(x_2, y_2, z) + K(x_1, y_1, z)]\). Это не совсем правильно. Правильная формула для напряжения в точке \(P(x,y)\) от прямоугольника с углами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) (где \(x_1 < x_2\) и \(y_1 < y_2\)) будет: \[ \sigma_z(P) = N \cdot [K(x_2-x_P, y_2-y_P, z) - K(x_1-x_P, y_2-y_P, z) - K(x_2-x_P, y_1-y_P, z) + K(x_1-x_P, y_1-y_P, z)] \] В нашем случае, точка \(M_3\) находится в начале координат \((0,0)\) для удобства. Координаты углов плиты №2 относительно \(M_3\): Левый нижний угол: \((x_{LL}, y_{LL})\) Правый нижний угол: \((x_{RL}, y_{RL})\) Левый верхний угол: \((x_{LU}, y_{LU})\) Правый верхний угол: \((x_{RU}, y_{RU})\) Расстояние от \(M_3\) до центра плиты №1: \((0.5l_1, 0.5b_1)\). Расстояние от \(M_3\) до центра плиты №2: \((L - 0.5l_1, 0.5b_1)\). Координаты углов плиты №2 относительно \(M_3\): \(x_{LL} = L - 0.5l_1 - 0.5l_2 = 3.5 - 1.45 - 1.75 = 0.3\) м \(y_{LL} = 0.5b_1 - 0.5b_2 = 1.3 - 1.25 = 0.05\) м \(x_{RL} = L - 0.5l_1 + 0.5l_2 = 3.5 - 1.45 + 1.75 = 3.8\) м \(y_{RL} = 0.5b_1 - 0.5b_2 = 0.05\) м \(x_{LU} = L - 0.5l_1 - 0.5l_2 = 0.3\) м \(y_{LU} = 0.5b_1 + 0.5b_2 = 1.3 + 1.25 = 2.55\) м \(x_{RU} = L - 0.5l_1 + 0.5l_2 = 3.8\) м \(y_{RU} = 0.5b_1 + 0.5b_2 = 2.55\) м Тогда \(\sigma_{z2}(M_3) = N_2 \cdot [K(x_{RU}, y_{RU}, z) - K(x_{LU}, y_{LU}, z) - K(x_{RL}, y_{RL}, z) + K(x_{LL}, y_{LL}, z)]\). Здесь \(K(x,y,z)\) - это коэффициент влияния для прямоугольника с размерами \(x\) и \(y\) на глубине \(z\). Давайте рассчитаем значения \(K\) для разных глубин \(z\). Формула для \(K\): \[ K = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{2mn\sqrt{1+m^2+n^2}}{(1+m^2)(1+n^2)+m^2n^2} \cdot \frac{1+m^2+n^2}{1+m^2+n^2} + \arctan\left(\frac{2mn\sqrt{1+m^2+n^2}}{1+m^2+n^2-m^2n^2}\right) \right] \] где \(m = \frac{l}{z}\) и \(n