Решение задачи №2: Расчет вертикальных напряжений в грунте

Задача 2. Горизонтальная поверхность массива грунта по прямоугольным плитам с размерами в плане \(l_1 \times b_1\) и \(l_2 \times b_2\) нагружена равномерно распределенной вертикальной нагрузкой интенсивностью \(N_1\) и \(N_2\). Определить значения вертикальных составляющих напряжений \(\sigma_z\) от совместного действия внешних нагрузок в точках массива грунта для заданной вертикали, проходящей через одну из точек \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) на плите № 1. Расстояние между осями плит нагружения \(L\). Точки по вертикали расположить от поверхности на расстоянии 1,0, 2,0, 4,0 и 6,0. По вычисленным напряжениям построить эпюру распределения \(\sigma_z\). Исходные данные приведены в табл.2. Схема к расчету представлена на рис.2. Исходные данные (Вариант 3): \(l_1 = 2,9\) м \(b_1 = 2,6\) м \(l_2 = 3,5\) м \(b_2 = 2,5\) м \(N_1 = 0,32\) МПа \(N_2 = 0,29\) МПа \(L = 3,5\) м Расчетная вертикаль: \(M_3\) Решение: Для определения вертикальных напряжений \(\sigma_z\) от равномерно распределенной нагрузки на прямоугольной площади используется метод угловых точек. Напряжение в точке \(M\) на глубине \(z\) от прямоугольной нагрузки интенсивностью \(N\) определяется по формуле: \[ \sigma_z = N \cdot K \] где \(K\) - коэффициент, зависящий от геометрических параметров. Коэффициент \(K\) для угловой точки прямоугольной нагрузки определяется по формуле: \[ K = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{2mn\sqrt{1+m^2+n^2}}{(1+m^2)(1+n^2)+m^2n^2} \left( \frac{1}{1+m^2} + \frac{1}{1+n^2} \right) + \arctan\left( \frac{mn}{\sqrt{1+m^2+n^2}} \right) \right] \] где \(m = \frac{l}{z}\) и \(n = \frac{b}{z}\) - безразмерные параметры, \(l\) и \(b\) - размеры прямоугольной нагрузки. В нашем случае, для определения напряжения в точке \(M_3\) от двух плит, мы будем использовать принцип суперпозиции. Точка \(M_3\) находится под плитой №1. Сначала определим напряжения от плиты №1. Плита №1 имеет размеры \(l_1 = 2,9\) м и \(b_1 = 2,6\) м. Точка \(M_3\) находится в углу прямоугольника, образованного размерами \(0,5b_1\) и \(0,5a_1\) (где \(a_1\) - это \(l_1\)). По схеме, точка \(M_3\) находится на расстоянии \(0,5b_1\) от левого края и \(0,5a_1\) от нижнего края плиты №1. Для расчета напряжения в точке \(M_3\) от плиты №1, мы можем разбить плиту №1 на четыре прямоугольника, для каждого из которых точка \(M_3\) будет угловой. Размеры этих прямоугольников будут: 1. \(0,5l_1 \times 0,5b_1\) 2. \(0,5l_1 \times 0,5b_1\) 3. \(0,5l_1 \times 0,5b_1\) 4. \(0,5l_1 \times 0,5b_1\) Однако, по рисунку, точка \(M_3\) находится на пересечении линий, делящих плиту на 4 части. То есть, для плиты №1, точка \(M_3\) является угловой для четырех прямоугольников с размерами \(0,5l_1 \times 0,5b_1\). Таким образом, напряжение от плиты №1 в точке \(M_3\) будет: \[ \sigma_{z1} = 4 \cdot N_1 \cdot K(0,5l_1, 0,5b_1, z) \] где \(l = 0,5l_1 = 0,5 \cdot 2,9 = 1,45\) м и \(b = 0,5b_1 = 0,5 \cdot 2,6 = 1,3\) м. Теперь определим напряжения от плиты №2. Плита №2 имеет размеры \(l_2 = 3,5\) м и \(b_2 = 2,5\) м. Расстояние между осями плит \(L = 3,5\) м. Точка \(M_3\) находится под плитой №1. Для плиты №2, точка \(M_3\) не является угловой. Для расчета напряжения в точке \(M_3\) от плиты №2, мы можем использовать метод угловых точек, представив плиту №2 как комбинацию прямоугольников, для которых точка \(M_3\) будет угловой. По рисунку, расстояние от центра плиты №1 до центра плиты №2 равно \(L\). Координаты точки \(M_3\) относительно центра плиты №1: \((0,5l_1, 0,5b_1)\). Координаты центра плиты №1: \((0,5l_1, 0,5b_1)\). Координаты центра плиты №2: \((0,5l_1 + L, 0,5b_1)\). Расстояние от точки \(M_3\) до левого края плиты №2: \(L - 0,5l_1 = 3,5 - 0,5 \cdot 2,9 = 3,5 - 1,45 = 2,05\) м. Расстояние от точки \(M_3\) до правого края плиты №2: \(L + 0,5l_2 - 0,5l_1 = 3,5 + 0,5 \cdot 3,5 - 0,5 \cdot 2,9 = 3,5 + 1,75 - 1,45 = 3,8\) м. Расстояние от точки \(M_3\) до нижнего края плиты №2: \(0,5b_2 - 0,5b_1 = 0,5 \cdot 2,5 - 0,5 \cdot 2,6 = 1,25 - 1,3 = -0,05\) м (это означает, что точка \(M_3\) находится немного выше нижнего края плиты №2, если смотреть по оси y). Расстояние от точки \(M_3\) до верхнего края плиты №2: \(0,5b_2 + 0,5b_1 = 0,5 \cdot 2,5 + 0,5 \cdot 2,6 = 1,25 + 1,3 = 2,55\) м. Для удобства, перенесем начало координат в точку \(M_3\). Плита №1: Левый нижний угол: \((-0,5l_1, -0,5b_1)\) Правый верхний угол: \((0,5l_1, 0,5b_1)\) Для точки \(M_3\), которая находится в центре плиты №1, напряжение от плиты №1 будет: \[ \sigma_{z1} = N_1 \cdot (K(0,5l_1, 0,5b_1, z) + K(0,5l_1, 0,5b_1, z) + K(0,5l_1, 0,5b_1, z) + K(0,5l_1, 0,5b_1, z)) = 4 \cdot N_1 \cdot K(0,5l_1, 0,5b_1, z) \] где \(l = 0,5l_1 = 1,45\) м, \(b = 0,5b_1 = 1,3\) м. Плита №2: Левый нижний угол плиты №2 относительно точки \(M_3\): \(x_{min} = L - 0,5l_1 - 0,5l_2 = 3,5 - 1,45 - 1,75 = 0,3\) м \(y_{min} = -0,5b_1 - 0,5b_2 = -1,3 - 1,25 = -2,55\) м Правый верхний угол плиты №2 относительно точки \(M_3\): \(x_{max} = L - 0,5l_1 + 0,5l_2 = 3,5 - 1,45 + 1,75 = 3,8\) м \(y_{max} = -0,5b_1 + 0,5b_2 = -1,3 + 1,25 = -0,05\) м Для расчета напряжения от плиты №2 в точке \(M_3\), мы можем использовать метод угловых точек. Представим плиту №2 как разность четырех прямоугольников, для которых точка \(M_3\) является угловой. \[ \sigma_{z2} = N_2 \cdot [K(x_{max}, y_{max}, z) - K(x_{min}, y_{max}, z) - K(x_{max}, y_{min}, z) + K(x_{min}, y_{min}, z)] \] Однако, по рисунку, точка \(M_3\) находится на оси симметрии плиты №1. Расстояние от центра плиты №1 до центра плиты №2 равно \(L\). Координаты точки \(M_3\) относительно центра плиты №1: \((0, 0)\). Координаты центра плиты №2 относительно центра плиты №1: \((L, 0)\). Точка \(M_3\) находится на расстоянии \(L\) от центра плиты №2 по оси x. Расстояние от точки \(M_3\) до левого края плиты №2: \(L - 0,5l_2 = 3,5 - 0,5 \cdot 3,5 = 3,5 - 1,75 = 1,75\) м. Расстояние от точки \(M_3\) до правого края плиты №2: \(L + 0,5l_2 = 3,5 + 0,5 \cdot 3,5 = 3,5 + 1,75 = 5,25\) м. Расстояние от точки \(M_3\) до нижнего края плиты №2: \(0,5b_2 = 0,5 \cdot 2,5 = 1,25\) м. Расстояние от точки \(M_3\) до верхнего края плиты №2: \(0,5b_2 = 0,5 \cdot 2,5 = 1,25\) м. Таким образом, для плиты №2, точка \(M_3\) находится на расстоянии \(x_1 = L - 0,5l_2 = 1,75\) м от левого края плиты №2 и \(x_2 = L + 0,5l_2 = 5,25\) м от левого края плиты №2. И на расстоянии \(y_1 = 0,5b_2 = 1,25\) м от нижнего края плиты №2 и \(y_2 = 0,5b_2 = 1,25\) м от верхнего края плиты №2. То есть, для плиты №2, точка \(M_3\) находится на расстоянии \(x_1 = 1,75\) м от левого края и \(y_1 = 1,25\) м от нижнего края. Напряжение от плиты №2 в точке \(M_3\) будет: \[ \sigma_{z2} = N_2 \cdot [K(x_2, y_2, z) - K(x_1, y_2, z) - K(x_2, y_1, z) + K(x_1, y_1, z)] \] где \(x_1 = 1,75\) м, \(x_2 = 5,25\) м, \(y_1 = 1,25\) м, \(y_2 = 1,25\) м. Общее напряжение \(\sigma_z\) в точке \(M_3\) на глубине \(z\) будет: \[ \sigma_z = \sigma_{z1} + \sigma_{z2} \] Рассчитаем значения для заданных глубин \(z\): 1,0 м, 2,0 м, 4,0 м, 6,0 м. Вспомогательная функция для расчета \(K\): \[ K(l, b, z) = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{2 \frac{l}{z} \frac{b}{z} \sqrt{1+(\frac{l}{z})^2+(\frac{b}{z})^2}}{(1+(\frac{l}{z})^2)(1+(\frac{b}{z})^2)+(\frac{l}{z})^2(\frac{b}{z})^2} \left( \frac{1}{1+(\frac{l}{z})^2} + \frac{1}{1+(\frac{b}{z})^2} \right) + \arctan\left( \frac{\frac{l}{z} \frac{b}{z}}{\sqrt{1+(\frac{l}{z})^2+(\frac{b}{z})^2}} \right) \right] \] Расчет для плиты №1 (точка \(M_3\) в центре): \(l_{1,eff} = 0,5l_1 = 1,45\) м \(b_{1,eff} = 0,5b_1 = 1,3\) м \(N_1 = 0,32\) МПа Расчет для плиты №2 (точка \(M_3\) не в центре): \(x_1 = L - 0,5l_2 = 3,5 - 1,75 = 1,75\) м \(x_2 = L + 0,5l_2 = 3,5 + 1,75 = 5,25\) м \(y_1 = 0,5b_2 = 1,25\) м \(y_2 = 0,5b_2 = 1,25\) м \(N_2 = 0,29\) МПа Таблица результатов: | \(z\) (м) | \(m_1 = \frac{1,45}{z}\) | \(n_1 = \frac{1,3}{z}\) | \(K_1\) | \(\sigma_{z1}\) (МПа) | \(m_{2,x1} = \frac{1,75}{z}\) | \(n_{2,y1} = \frac{1,25}{z}\) | \(m_{2,x2} = \frac{5,25}{z}\) | \(n_{2,y2} = \frac{1,25}{z}\) | \(K_{2,x2y2}\) | \(K_{2,x1y2}\) | \(K_{2,x2y1}\) | \(K_{2,x1y1}\) | \(\sigma_{z2}\) (МПа) | \(\sigma_z\) (МПа) | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | 1,0 | 1,45 | 1,3 | 0,196 | 4 * 0,32 * 0,196 = 0,25088 | 1,75 | 1,25 | 5,25 | 1,25 | 0,199 | 0,186 | 0,199 | 0,186 | 0,29 * (0,199 - 0,186 - 0,199 + 0,186) = 0 | 0,25088 | | 2,0 | 0,725 | 0,65 | 0,119 | 4 * 0,32 * 0,119 = 0,15232 | 0,875 | 0,625 | 2,625 | 0,625 | 0,118 | 0,106 | 0,118 | 0,106 | 0,29 * (0,118 - 0,106 - 0,118 + 0,106) = 0 | 0,15232 | | 4,0 | 0,3625 | 0,325 | 0,051 | 4 * 0,32 * 0,051 = 0,06528 | 0,4375 | 0,3125 | 1,3125 | 0,3125 | 0,050 | 0,044 | 0,050 | 0,044 | 0,29 * (0,050 - 0,044 - 0,050 + 0,044) = 0 | 0,06528 | | 6,0 | 0