Решение задачи: Камень брошен вертикально вверх

Вот решения задач из вашего варианта. Вариант 4. Итог. контр. раб. для ин.ст. 1 Курс 1 семестр 1. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью \(v_0 = 10\) м/с. На какую максимальную высоту он поднимется? Через какое время упадет? Решение: Дано: Начальная скорость \(v_0 = 10\) м/с Ускорение свободного падения \(g = 9.8\) м/с\(^2\) (примем для удобства расчетов \(g \approx 10\) м/с\(^2\)) Найти: Максимальная высота \(h_{max}\) Время падения \(t_{падения}\) 1. Найдем максимальную высоту \(h_{max}\). На максимальной высоте скорость камня станет равной нулю. Используем формулу для равноускоренного движения: \[v^2 = v_0^2 - 2gh\] Где \(v = 0\) (конечная скорость на максимальной высоте). \[0 = v_0^2 - 2gh_{max}\] \[2gh_{max} = v_0^2\] \[h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}\] Подставим значения: \[h_{max} = \frac{(10 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{20 \text{ м/с}^2} = 5 \text{ м}\] 2. Найдем время подъема до максимальной высоты. Используем формулу: \[v = v_0 - gt\] Где \(v = 0\). \[0 = v_0 - gt_{подъема}\] \[gt_{подъема} = v_0\] \[t_{подъема} = \frac{v_0}{g}\] Подставим значения: \[t_{подъема} = \frac{10 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 1 \text{ с}\] Время падения с максимальной высоты равно времени подъема. \[t_{падения} = t_{подъема} = 1 \text{ с}\] Общее время полета (до момента падения на землю, если бросок был с земли) будет \(2 \cdot t_{подъема} = 2 \cdot 1 \text{ с} = 2 \text{ с}\). В вопросе спрашивается "Через какое время упадет?", что обычно подразумевает время до возвращения на исходную высоту. Ответ: Камень поднимется на максимальную высоту 5 м. Через 2 с он упадет (вернется на исходную высоту). 2. Брусок массой \(m = 300\) г движется вниз по наклонной плоскости с углом наклона \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен \(\mu = 0.15\). Чему равно ускорение бруска? Решение: Дано: Масса бруска \(m = 300\) г \( = 0.3\) кг Угол наклона \(\alpha = 30^\circ\) Коэффициент трения \(\mu = 0.15\) Ускорение свободного падения \(g = 9.8\) м/с\(^2\) (примем для удобства расчетов \(g \approx 10\) м/с\(^2\)) Найти: Ускорение бруска \(a\) На брусок действуют следующие силы: 1. Сила тяжести \(mg\), направленная вертикально вниз. 2. Нормальная сила реакции опоры \(N\), перпендикулярная наклонной плоскости. 3. Сила трения \(F_{тр}\), направленная вдоль наклонной плоскости вверх (против движения). Разложим силу тяжести на две составляющие: - Составляющая, перпендикулярная плоскости: \(mg \cos \alpha\). Она уравновешивается нормальной силой реакции опоры \(N\). - Составляющая, параллельная плоскости: \(mg \sin \alpha\). Она направлена вниз по наклонной плоскости и вызывает движение. По второму закону Ньютона: Сумма сил, действующих вдоль наклонной плоскости, равна \(ma\). \[mg \sin \alpha - F_{тр} = ma\] Сила трения скольжения определяется как: \[F_{тр} = \mu N\] Так как \(N = mg \cos \alpha\), то \[F_{тр} = \mu mg \cos \alpha\] Подставим выражение для силы трения в уравнение движения: \[mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = ma\] Разделим обе части уравнения на \(m\): \[g \sin \alpha - \mu g \cos \alpha = a\] \[a = g (\sin \alpha - \mu \cos \alpha)\] Подставим значения: \(\sin 30^\circ = 0.5\) \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\) \[a = 10 \text{ м/с}^2 (0.5 - 0.15 \cdot 0.866)\] \[a = 10 \text{ м/с}^2 (0.5 - 0.1299)\] \[a = 10 \text{ м/с}^2 (0.3701)\] \[a \approx 3.7 \text{ м/с}^2\] Ответ: Ускорение бруска равно примерно 3.7 м/с\(^2\). 3. 1 моль кислорода находится под давлением \(P_1 = 10^5\) Па при температуре \(T_1 = 290\) К. Температуру газа изобарно увеличивают в 6 раз. Какое количество теплоты получает при этом газ? На сколько изменилась его внутренняя энергия? Какую работу совершает при этом газ? Решение: Дано: Количество вещества \(\nu = 1\) моль Начальное давление \(P_1 = 10^5\) Па Начальная температура \(T_1 = 290\) К Процесс изобарный (давление постоянно \(P = P_1\)) Конечная температура \(T_2 = 6 T_1 = 6 \cdot 290 \text{ К} = 1740\) К Кислород (\(\text{O}_2\)) - двухатомный газ. Найти: Количество теплоты \(Q\) Изменение внутренней энергии \(\Delta U\) Работа газа \(A\) Для двухатомного газа молярная изобарная теплоемкость \(C_p = \frac{7}{2} R\), молярная изохорная теплоемкость \(C_v = \frac{5}{2} R\). Универсальная газовая постоянная \(R = 8.31\) Дж/(моль\( \cdot \)К). 1. Изменение внутренней энергии \(\Delta U\). Изменение внутренней энергии для идеального газа зависит только от изменения температуры: \[\Delta U = \nu C_v \Delta T\] Где \(\Delta T = T_2 - T_1\). \[\Delta T = 1740 \text{ К} - 290 \text{ К} = 1450 \text{ К}\] \[\Delta U = \nu \frac{5}{2} R \Delta T\] \[\Delta U = 1 \text{ моль} \cdot \frac{5}{2} \cdot 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot 1450 \text{ К}\] \[\Delta U = 2.5 \cdot 8.31 \cdot 1450 \text{ Дж}\] \[\Delta U = 2.5 \cdot 12050.5 \text{ Дж}\] \[\Delta U = 30126.25 \text{ Дж} \approx 30.13 \text{ кДж}\] 2. Работа газа \(A\) при изобарном процессе. \[A = P \Delta V\] По уравнению Менделеева-Клапейрона \(PV = \nu RT\). Так как \(P = \text{const}\), то \(P \Delta V = \nu R \Delta T\). \[A = \nu R \Delta T\] \[A = 1 \text{ моль} \cdot 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot 1450 \text{ К}\] \[A = 12050.5 \text{ Дж} \approx 12.05 \text{ кДж}\] 3. Количество теплоты \(Q\). По первому началу термодинамики: \[Q = \Delta U + A\] \[Q = 30126.25 \text{ Дж} + 12050.5 \text{ Дж}\] \[Q = 42176.75 \text{ Дж} \approx 42.18 \text{ кДж}\] Также количество теплоты при изобарном процессе можно найти по формуле: \[Q = \nu C_p \Delta T\] \[Q = \nu \frac{7}{2} R \Delta T\] \[Q = 1 \text{ моль} \cdot \frac{7}{2} \cdot 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot 1450 \text{ К}\] \[Q = 3.5 \cdot 8.31 \cdot 1450 \text{ Дж}\] \[Q = 3.5 \cdot 12050.5 \text{ Дж}\] \[Q = 42176.75 \text{ Дж} \approx 42.18 \text{ кДж}\] Результаты совпадают. Ответ: Газ получает 42.18 кДж теплоты. Его внутренняя энергия изменилась на 30.13 кДж. Газ совершает работу 12.05 кДж. 4. Два точечных заряда \(q_1 = 2\) нКл и \(q_2 = -2\) нКл находятся в вакууме на расстоянии \(d = 20\) см. Чему равны напряженность \(E\) и потенциал \(\varphi\) поля этих зарядов в точке, находящейся на расстоянии \(r_1 = 8\) см от первого и на \(r_2 = 12\) см от второго зарядов? \(k = 9 \cdot 10^9\) Н\( \cdot \)м\(^2\)/Кл\(^2\). Решение: Дано: Заряд \(q_1 = 2\) нКл \( = 2 \cdot 10^{-9}\) Кл Заряд \(q_2 = -2\) нКл \( = -2 \cdot 10^{-9}\) Кл Расстояние между зарядами \(d = 20\) см \( = 0.2\) м Расстояние от первого заряда до точки \(r_1 = 8\) см \( = 0.08\) м Расстояние от второго заряда до точки \(r_2 = 12\) см \( = 0.12\) м Коэффициент Кулона \(k = 9 \cdot 10^9\) Н\( \cdot \)м\(^2\)/Кл\(^2\) Найти: Напряженность \(E\) в точке Потенциал \(\varphi\) в точке Заметим, что \(r_1 + r_2 = 0.08 \text{ м} + 0.12 \text{ м} = 0.2 \text{ м} = d\). Это означает, что точка находится на отрезке, соединяющем заряды. 1. Найдем потенциал \(\varphi\) в точке. Потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности: \[\varphi = \varphi_1 + \varphi_2\] Где \(\varphi_1 = k \frac{q_1}{r_1}\) и \(\varphi_2 = k \frac{q_2}{r_2}\). \[\varphi = k \frac{q_1}{r_1} + k \frac{q_2}{r_2} = k \left( \frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} \right)\] Подставим значения: \[\varphi = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \left( \frac{2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{0.08 \text{ м}} + \frac{-2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{0.12 \text{ м}} \right)\] \[\varphi = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2}{0.08} \cdot 10^{-9} - \frac{2}{0.12} \cdot 10^{-9} \right)\] \[\varphi = 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9} \left( \frac{2}{0.08} - \frac{2}{0.12} \right)\] \[\varphi = 9 \left( 25 - 16.666... \right)\] \[\varphi = 9 \left( 8.333... \right)\] \[\varphi = 75 \text{ В}\] 2. Найдем напряженность \(E\) в точке. Напряженность поля, создаваемого системой точечных зарядов, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: \[\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}\] Напряженность \(E_1\) от заряда \(q_1\) направлена от \(q_1\) (так как \(q_1 > 0\)). Напряженность \(E_2\) от заряда \(q_2\) направлена к \(q_2\) (так как \(q_2 < 0\)). Поскольку точка находится между зарядами, векторы \(\vec{E_1}\) и \(\vec{E_2}\) будут сонаправлены (оба направлены от \(q_1\) к \(q_2\)). Поэтому модуль результирующей напряженности будет равен сумме модулей: \[E = E_1 + E_2\] Где \(E_1 = k \frac{|q_1|}{r_1^2}\) и \(E_2 = k \frac{|q_2|}{r_2^2}\). \[E = k \frac{|q_1|}{r_1^2} + k \frac{|q_2|}{r_2^2} = k \left( \frac{|q_1|}{r_1^2} + \frac{|q_2|}{r_2^2} \right)\] Подставим значения: \[E = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \left( \frac{|2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}|}{(0.08 \text{ м})^2} + \frac{|-2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}|}{(0.12 \text{ м})^2} \right)\] \[E = 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9} \left( \frac{2}{0.08^2} + \frac{2}{0.12^2} \right)\] \[E = 9 \left( \frac{2}{0.0064} + \frac{2}{0.0144} \right)\] \[E = 9 \left( 312.5 + 138.888... \right)\] \[E = 9 \left( 451.388... \right)\] \[E = 4062.5 \text{ В/м}\] Ответ: Напряженность поля в точке равна 4062.5 В/м, потенциал поля равен 75 В.