Решение задачи: Камень брошен вертикально вверх

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью \(v_0=10\) м/с. На какую максимальную высоту он поднимется? Через какое время упадет? Решение: Дано: Начальная скорость \(v_0 = 10\) м/с Ускорение свободного падения \(g = 9.8\) м/с\(^2\) Найти: Максимальная высота \(h_{max}\) Время падения \(t_{падения}\) Для нахождения максимальной высоты \(h_{max}\) используем формулу: \[v^2 = v_0^2 - 2gh\] В верхней точке траектории скорость камня \(v = 0\). Тогда: \[0 = v_0^2 - 2gh_{max}\] \[2gh_{max} = v_0^2\] \[h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}\] Подставляем значения: \[h_{max} = \frac{(10 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{19.6 \text{ м/с}^2} \approx 5.10 \text{ м}\] Для нахождения времени подъема до максимальной высоты \(t_{подъема}\) используем формулу: \[v = v_0 - gt\] В верхней точке \(v = 0\): \[0 = v_0 - gt_{подъема}\] \[gt_{подъема} = v_0\] \[t_{подъема} = \frac{v_0}{g}\] Подставляем значения: \[t_{подъема} = \frac{10 \text{ м/с}}{9.8 \text{ м/с}^2} \approx 1.02 \text{ с}\] Время падения камня с максимальной высоты до земли равно времени подъема. Значит, общее время, через которое камень упадет, равно удвоенному времени подъема: \[t_{падения} = 2 \cdot t_{подъема}\] \[t_{падения} = 2 \cdot 1.02 \text{ с} \approx 2.04 \text{ с}\] Ответ: Максимальная высота, на которую поднимется камень, составляет примерно \(5.10\) м. Камень упадет примерно через \(2.04\) с. 2. Брусок массой \(m=300\) г движется вниз по наклонной плоскости с углом наклона \(\alpha=30^\circ\) к горизонту. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен \(\mu=0.15\). Чему равно ускорение бруска? Решение: Дано: Масса бруска \(m = 300\) г \( = 0.3\) кг Угол наклона \(\alpha = 30^\circ\) Коэффициент трения \(\mu = 0.15\) Ускорение свободного падения \(g = 9.8\) м/с\(^2\) Найти: Ускорение бруска \(a\) На брусок действуют следующие силы: 1. Сила тяжести \(mg\), направленная вертикально вниз. 2. Нормальная сила реакции опоры \(N\), направленная перпендикулярно плоскости вверх. 3. Сила трения \(F_{тр}\), направленная вдоль плоскости вверх (против движения). Разложим силу тяжести на две составляющие: - Составляющая, перпендикулярная плоскости: \(mg \cos \alpha\) - Составляющая, параллельная плоскости: \(mg \sin \alpha\) По второму закону Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную плоскости (ось Y): \[N - mg \cos \alpha = 0\] \[N = mg \cos \alpha\] Сила трения скольжения определяется как: \[F_{тр} = \mu N\] Подставляем выражение для \(N\): \[F_{тр} = \mu mg \cos \alpha\] По второму закону Ньютона в проекции на ось, параллельную плоскости (ось X, направленная вниз по плоскости): \[mg \sin \alpha - F_{тр} = ma\] Подставляем выражение для \(F_{тр}\): \[mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = ma\] Разделим все члены уравнения на \(m\): \[g \sin \alpha - \mu g \cos \alpha = a\] \[a = g (\sin \alpha - \mu \cos \alpha)\] Подставляем значения: \[a = 9.8 \text{ м/с}^2 (\sin 30^\circ - 0.15 \cdot \cos 30^\circ)\] \[\sin 30^\circ = 0.5\] \[\cos 30^\circ \approx 0.866\] \[a = 9.8 \text{ м/с}^2 (0.5 - 0.15 \cdot 0.866)\] \[a = 9.8 \text{ м/с}^2 (0.5 - 0.1299)\] \[a = 9.8 \text{ м/с}^2 (0.3701)\] \[a \approx 3.63 \text{ м/с}^2\] Ответ: Ускорение бруска равно примерно \(3.63\) м/с\(^2\). 3. 1 моль кислорода находятся под давлением \(P_1=10^5\) Па при температуре \(T_1=290\) К. Температуру газа изобарно увеличивают в два раза. Какое количество теплоты получает при этом газ? На сколько изменилась его внутренняя энергия? Какую работу совершает при этом газ? Решение: Дано: Количество вещества кислорода \(\nu = 1\) моль Начальное давление \(P_1 = 10^5\) Па Начальная температура \(T_1 = 290\) К Процесс изобарный (давление постоянно) Конечная температура \(T_2 = 2T_1 = 2 \cdot 290\) К \( = 580\) К Универсальная газовая постоянная \(R = 8.31\) Дж/(моль\( \cdot \)К) Кислород (\(O_2\)) - двухатомный газ, поэтому число степеней свободы \(i = 5\). Найти: Количество теплоты \(Q\) Изменение внутренней энергии \(\Delta U\) Работа газа \(A\) 1. Изменение внутренней энергии \(\Delta U\): Для идеального газа изменение внутренней энергии определяется формулой: \[\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T\] где \(\Delta T = T_2 - T_1\). \[\Delta T = 580 \text{ К} - 290 \text{ К} = 290 \text{ К}\] Подставляем значения: \[\Delta U = \frac{5}{2} \cdot 1 \text{ моль} \cdot 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot 290 \text{ К}\] \[\Delta U = 2.5 \cdot 8.31 \cdot 290 \text{ Дж}\] \[\Delta U \approx 6024.75 \text{ Дж}\] 2. Работа газа \(A\): Для изобарного процесса работа газа определяется формулой: \[A = P \Delta V\] Также, используя уравнение Менделеева-Клапейрона \(PV = \nu RT\), можно выразить работу через температуру: \[P \Delta V = \nu R \Delta T\] \[A = \nu R (T_2 - T_1)\] \[A = 1 \text{ моль} \cdot 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot (580 \text{ К} - 290 \text{ К})\] \[A = 1 \cdot 8.31 \cdot 290 \text{ Дж}\] \[A \approx 2409.9 \text{ Дж}\] 3. Количество теплоты \(Q\): Согласно первому началу термодинамики: \[Q = \Delta U + A\] Подставляем найденные значения: \[Q = 6024.75 \text{ Дж} + 2409.9 \text{ Дж}\] \[Q \approx 8434.65 \text{ Дж}\] Ответ: Количество теплоты, полученное газом, составляет примерно \(8434.65\) Дж. Внутренняя энергия газа изменилась примерно на \(6024.75\) Дж. Газ совершил работу примерно \(2409.9\) Дж. 4. Два точечных заряда \(q_1=2\) нКл и \(q_2=-2\) нКл находятся в вакууме на расстоянии \(d=20\) см. Чему равны напряженность \(E\) и потенциал \(\varphi\) поля этих зарядов в точке, находящейся на расстоянии \(r_1=8\) см от первого и на \(r_2=12\) см от второго зарядов? \(k=9 \cdot 10^9\) Н\( \cdot \)м\(^2\)/Кл\(^2\). Решение: Дано: Заряд \(q_1 = 2\) нКл \( = 2 \cdot 10^{-9}\) Кл Заряд \(q_2 = -2\) нКл \( = -2 \cdot 10^{-9}\) Кл Расстояние между зарядами \(d = 20\) см \( = 0.2\) м Расстояние от первого заряда до точки \(r_1 = 8\) см \( = 0.08\) м Расстояние от второго заряда до точки \(r_2 = 12\) см \( = 0.12\) м Коэффициент Кулона \(k = 9 \cdot 10^9\) Н\( \cdot \)м\(^2\)/Кл\(^2\) Найти: Напряженность \(E\) поля в точке Потенциал \(\varphi\) поля в точке Заметим, что \(r_1 + r_2 = 0.08 \text{ м} + 0.12 \text{ м} = 0.2 \text{ м} = d\). Это означает, что точка находится на прямой, соединяющей заряды, между ними. 1. Потенциал \(\varphi\) поля: Потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности: \[\varphi = \varphi_1 + \varphi_2\] где \(\varphi_1 = \frac{k q_1}{r_1}\) и \(\varphi_2 = \frac{k q_2}{r_2}\). \[\varphi = \frac{k q_1}{r_1} + \frac{k q_2}{r_2} = k \left( \frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} \right)\] Подставляем значения: \[\varphi = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \left( \frac{2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{0.08 \text{ м}} + \frac{-2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{0.12 \text{ м}} \right)\] \[\varphi = 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9} \left( \frac{2}{0.08} - \frac{2}{0.12} \right) \text{ В}\] \[\varphi = 9 \left( 25 - 16.666... \right) \text{ В}\] \[\varphi = 9 \left( 8.333... \right) \text{ В}\] \[\varphi \approx 75 \text{ В}\] 2. Напряженность \(E\) поля: Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом, определяется формулой \(E = \frac{k |q|}{r^2}\). Напряженность - векторная величина. В данной точке, находящейся между зарядами, векторы напряженности \(\vec{E_1}\) (от \(q_1\)) и \(\vec{E_2}\) (от \(q_2\)) будут направлены в одну сторону. Заряд \(q_1\) положительный, поэтому \(\vec{E_1}\) направлен от \(q_1\) (в сторону \(q_2\)). Заряд \(q_2\) отрицательный, поэтому \(\vec{E_2}\) направлен к \(q_2\) (также в сторону \(q_2\)). Следовательно, результирующая напряженность будет равна сумме модулей напряженностей: \[E = E_1 + E_2\] \[E_1 = \frac{k |q_1|}{r_1^2}\] \[E_2 = \frac{k |q_2|}{r_2^2}\] \[E = k \left( \frac{|q_1|}{r_1^2} + \frac{|q_2|}{r_2^2} \right)\] Подставляем значения: \[E = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \left( \frac{2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{(0.08 \text{ м})^2} + \frac{|-2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}|}{(0.12 \text{ м})^2} \right)\] \[E = 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9} \left( \frac{2}{0.0064} + \frac{2}{0.0144} \right) \text{ Н/Кл}\] \[E = 9 \left( 312.5 + 138.888... \right) \text{ Н/Кл}\] \[E = 9 \left( 451.388... \right) \text{ Н/Кл}\] \[E \approx 4062.5 \text{ Н/Кл}\] Ответ: Потенциал поля в данной точке равен примерно \(75\) В. Напряженность поля в данной точке равна примерно \(4062.5\) Н/Кл.