Решение задач 7 и 8: 6^7 * 36^14 и нахождение производной

Хорошо, давайте решим задачи по порядку.

Задача 7

Найти значение выражения \(6^7 \cdot 36^{14}\). Решение: Для начала заметим, что \(36 = 6^2\). Подставим это в выражение: \[6^7 \cdot (6^2)^{14}\] Используем свойство степеней \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \[6^7 \cdot 6^{2 \cdot 14}\] \[6^7 \cdot 6^{28}\] Теперь используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \[6^{7+28}\] \[6^{35}\] Ответ: \(6^{35}\)

Задача 8

На рисунке изображены график дифференцируемой функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\). Решение: Значение производной функции в точке \(x_0\) равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент касательной можно найти, выбрав две точки на касательной и вычислив тангенс угла наклона. Посмотрим на рисунок. Касательная проходит через точки с целыми координатами. Найдем две удобные точки на касательной. Одна точка, через которую проходит касательная, это точка касания. По рисунку видно, что касательная проходит через точку \((1, 1)\). Найдем еще одну точку на касательной. Если двигаться от точки \((1, 1)\) на 1 единицу вправо (до \(x=2\)), то касательная поднимается на 2 единицы вверх (до \(y=3\)). То есть, касательная проходит через точку \((2, 3)\). Теперь вычислим угловой коэффициент \(k\) по формуле: \[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\] Возьмем \((x_1, y_1) = (1, 1)\) и \((x_2, y_2) = (2, 3)\). \[k = \frac{3 - 1}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2\] Таким образом, значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равно 2. Ответ: 2

Задача 9

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями \(u\) и \(v\) (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала \(f\) (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле \(f = f_0 \frac{c+u}{c-v}\), где \(f_0 = 170\) Гц — частота исходного сигнала, \(c\) — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а \(u = 11\) м/с и \(v = 13\) м/с — скорости приёмника и источника относительно среды. При какой скорости \(c\) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 180 Гц? Ответ дайте в м/с. Решение: Дано: \(f_0 = 170\) Гц \(u = 11\) м/с (скорость приёмника) \(v = 13\) м/с (скорость источника) \(f = 180\) Гц (частота сигнала в приёмнике) Формула: \(f = f_0 \frac{c+u}{c-v}\) Нужно найти \(c\). Подставим известные значения в формулу: \[180 = 170 \cdot \frac{c+11}{c-13}\] Разделим обе части на 170: \[\frac{180}{170} = \frac{c+11}{c-13}\] \[\frac{18}{17} = \frac{c+11}{c-13}\] Теперь умножим крест-накрест: \[18 \cdot (c-13) = 17 \cdot (c+11)\] Раскроем скобки: \[18c - 18 \cdot 13 = 17c + 17 \cdot 11\] \[18c - 234 = 17c + 187\] Перенесем члены с \(c\) в одну сторону, а числа — в другую: \[18c - 17c = 187 + 234\] \[c = 421\] Скорость \(c\) распространения сигнала в среде равна 421 м/с. Ответ: 421

Задача 10

Автомобиль, движущийся с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе, обгоняет другой автомобиль, движущийся в ту же сторону с постоянной скоростью 33 км/ч. Каким будет расстояние (в километрах) между этими автомобилями через 12 минут после обгона? Решение: Скорость первого автомобиля \(V_1 = 70\) км/ч. Скорость второго автомобиля \(V_2 = 33\) км/ч. Оба автомобиля движутся в одну сторону. Время \(t = 12\) минут. Сначала найдем относительную скорость, с которой первый автомобиль удаляется от второго после обгона. \[V_{отн} = V_1 - V_2\] \[V_{отн} = 70 \text{ км/ч} - 33 \text{ км/ч} = 37 \text{ км/ч}\] Теперь переведем время из минут в часы, так как скорость дана в км/ч. \[t = 12 \text{ минут} = \frac{12}{60} \text{ часа} = \frac{1}{5} \text{ часа} = 0.2 \text{ часа}\] Расстояние \(S\) между автомобилями через 12 минут будет равно произведению относительной скорости на время: \[S = V_{отн} \cdot t\] \[S = 37 \text{ км/ч} \cdot 0.2 \text{ часа}\] \[S = 37 \cdot \frac{1}{5} = \frac{37}{5} = 7.4 \text{ км}\] Ответ: 7.4

Задача 11

На рисунке изображён график функции вида \(f(x) = ax^2+bx+c\), где числа \(a, b, c\) — целые. Найдите значение \(f(-13)\). Решение: График функции \(f(x) = ax^2+bx+c\) — это парабола. По рисунку видно, что вершина параболы находится в точке \((0, 0)\). Это означает, что функция имеет вид \(f(x) = ax^2\), так как для вершины в \((0,0)\) должно быть \(b=0\) и \(c=0\). Чтобы найти коэффициент \(a\), возьмем любую другую точку на параболе, координаты которой легко определить по графику. Например, парабола проходит через точку \((1, -1)\). Подставим эти координаты в уравнение \(f(x) = ax^2\): \[-1 = a \cdot (1)^2\] \[-1 = a \cdot 1\] \[a = -1\] Таким образом, уравнение функции: \[f(x) = -x^2\] Теперь найдем значение \(f(-13)\): \[f(-13) = -(-13)^2\] \[f(-13) = -(169)\] \[f(-13) = -169\] Ответ: -169