Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.
Задача 3
На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [20; 67]\) и \(Q = [33; 98]\). Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A\), для которого логическое выражение
\[(x \in P) \to (((x \in Q) \land \neg(x \in A)) \to \neg(x \in P))\]
истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной \(x\).
Решение:
Обозначим высказывания:
\(P_x = (x \in P)\)
\(Q_x = (x \in Q)\)
\(A_x = (x \in A)\)
Тогда данное логическое выражение можно записать как:
\[P_x \to ((Q_x \land \neg A_x) \to \neg P_x)\]
Это выражение должно быть истинно для любого \(x\).
Рассмотрим импликацию \(X \to Y\). Она ложна только в одном случае: когда \(X\) истинно, а \(Y\) ложно.
Значит, если \(P_x\) истинно, то \(((Q_x \land \neg A_x) \to \neg P_x)\) также должно быть истинно.
Случай 1: \(x \notin P\).
Если \(P_x\) ложно, то импликация \(P_x \to (\dots)\) всегда истинна, независимо от значения выражения в скобках.
Значит, нас интересуют только те \(x\), для которых \(x \in P\).
Случай 2: \(x \in P\).
Если \(P_x\) истинно, то \(\neg P_x\) ложно.
Тогда выражение \(((Q_x \land \neg A_x) \to \neg P_x)\) принимает вид \(((Q_x \land \neg A_x) \to \text{ложь})\).
Чтобы эта импликация была истинной, её посылка \((Q_x \land \neg A_x)\) должна быть ложной.
То есть, для всех \(x \in P\) должно выполняться: \(\neg (Q_x \land \neg A_x)\).
По законам де Моргана, \(\neg (Q_x \land \neg A_x) \equiv \neg Q_x \lor \neg (\neg A_x) \equiv \neg Q_x \lor A_x\).
Таким образом, для всех \(x \in P\) должно быть истинно \(\neg Q_x \lor A_x\).
Это означает, что если \(x \in P\) и \(x \in Q\), то обязательно \(x \in A\).
Или, другими словами, \(P \cap Q \subseteq A\).
Нам даны отрезки:
\(P = [20; 67]\)
\(Q = [33; 98]\)
Найдем пересечение \(P \cap Q\):
\(P \cap Q = [\max(20, 33); \min(67, 98)] = [33; 67]\).
Для того чтобы \(P \cap Q \subseteq A\), отрезок \(A\) должен содержать отрезок \([33; 67]\).
Мы ищем наименьшую возможную длину отрезка \(A\). Наименьшая длина будет, если \(A\) совпадает с \([33; 67]\).
Длина отрезка \(A\) в этом случае: \(67 - 33 = 34\).
Ответ:
Наименьшая возможная длина отрезка \(A\) равна 34.
Задача 4
На числовой прямой даны два промежутка: \(P = [23; 45]\) и \(Q = [34; 56]\). Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка \(A\), что формула
\[(x \notin A) \lor (x \notin P) \land (x \in Q)\]
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).
Решение:
Обозначим высказывания:
\(A_x = (x \in A)\)
\(P_x = (x \in P)\)
\(Q_x = (x \in Q)\)
Данное логическое выражение:
\[\neg A_x \lor (\neg P_x \land Q_x)\]
Это выражение должно быть истинно для любого \(x\).
Это означает, что для любого \(x\) должно выполняться:
либо \(x \notin A\),
либо \((x \notin P \text{ и } x \in Q)\).
Перепишем это как: \(A_x \to (\neg P_x \land Q_x)\).
Нет, это неверно. Правильно будет: \(\neg A_x \lor (\neg P_x \land Q_x) \equiv A_x \to (\neg P_x \land Q_x)\) - это неверно.
Правильно: \(\neg A_x \lor B \equiv A_x \to B\).
Значит, \(\neg A_x \lor (\neg P_x \land Q_x)\) эквивалентно \(A_x \to (\neg P_x \land Q_x)\).
Это означает, что если \(x \in A\), то обязательно \((x \notin P \text{ и } x \in Q)\).
То есть, если \(x \in A\), то \(x \in Q\) и \(x \notin P\).
Это можно записать как \(A \subseteq (Q \setminus P)\).
Нам даны промежутки:
\(P = [23; 45]\)
\(Q = [34; 56]\)
Найдем множество \(Q \setminus P\). Это элементы, которые принадлежат \(Q\), но не принадлежат \(P\).
\(Q \setminus P = [34; 56] \setminus [23; 45]\).
Элементы из \(Q\) от 34 до 56.
Элементы из \(P\) от 23 до 45.
Часть отрезка \(Q\), которая пересекается с \(P\), это \([\max(34, 23); \min(56, 45)] = [34; 45]\).
Значит, \(Q \setminus P\) будет состоять из элементов \(x \in Q\) таких, что \(x > 45\).
То есть, \(Q \setminus P = (45; 56]\).
Отрезок \(A\) должен быть подмножеством \((45; 56]\).
Мы ищем наибольшую возможную длину отрезка \(A\).
Наибольшая длина будет, если \(A\) совпадает с \((45; 56]\).
Однако, в задаче говорится про "отрезок \(A\)". Отрезок включает свои концы.
Если \(A = [45; 56]\), то для \(x=45\), \(x \in A\).
Но \(x=45\) также принадлежит \(P\).
Если \(x=45\), то \(x \in A\) истинно.
Тогда \(\neg P_x \land Q_x\) должно быть истинно.
Но \(x=45 \in P\), значит \(\neg P_x\) ложно.
Следовательно, \(\neg P_x \land Q_x\) ложно.
Получаем \(A_x \to \text{ложь}\), что при \(A_x\) истинном дает ложь.
Значит, \(x=45\) не может принадлежать \(A\).
Поэтому, отрезок \(A\) должен быть подмножеством \((45; 56]\).
Наибольший отрезок, который является подмножеством \((45; 56]\), это \((45; 56]\) сам по себе, но это полуинтервал.
Если \(A\) должен быть отрезком, то он должен быть вида \([a; b]\).
Чтобы \(A \subseteq (45; 56]\), должно быть \(a > 45\) и \(b \le 56\).
Для наибольшей длины, \(a\) должно быть как можно ближе к 45, а \(b\) как можно ближе к 56.
Если \(A = [45 + \epsilon; 56]\) для очень малого \(\epsilon > 0\), то длина будет \(56 - (45 + \epsilon) = 11 - \epsilon\).
В контексте школьных задач, когда речь идет о наибольшей длине отрезка, который должен быть строго больше какого-то числа, обычно подразумевается, что можно взять этот отрезок, если он не включает "проблемную" точку.
В данном случае, \(A\) должен быть подмножеством \((45; 56]\).
Наибольший отрезок, который удовлетворяет этому условию, это \([46; 56]\) (если мы работаем с целыми числами) или \([45 + \delta; 56]\) для сколь угодно малого \(\delta > 0\).
Если мы рассматриваем действительные числа, то наибольшая длина будет стремиться к \(56 - 45 = 11\), но сам отрезок \([45; 56]\) не подходит.
Однако, если мы возьмем отрезок \([45 + \epsilon; 56]\), его длина будет \(11 - \epsilon\).
В таких задачах часто подразумевается, что мы можем взять "почти" до границы.
Давайте перепроверим логику.
Если \(x \in A\), то \(x \in Q\) и \(x \notin P\).
Это означает, что \(A \subseteq Q \setminus P\).
\(Q \setminus P = [34; 56] \setminus [23; 45]\).
Это множество состоит из всех \(x\) таких, что \(34 \le x \le 56\) и \(x < 23\) или \(x > 45\).
Так как \(x \ge 34\), то \(x < 23\) невозможно.
Значит, \(Q \setminus P\) состоит из всех \(x\) таких, что \(34 \le x \le 56\) и \(x > 45\).
Это множество \((45; 56]\).
Наибольший отрезок \(A\) (включающий концы), который содержится в \((45; 56]\), это \([45 + \delta; 56]\) для некоторого \(\delta > 0\).
Если мы ищем наибольшую возможную длину, то это будет \(56 - 45 = 11\).
Но сам отрезок \([45; 56]\) не подходит.
Если в задаче подразумевается, что \(A\) может быть полуинтервалом, то \(A = (45; 56]\) и его длина 11.
Если \(A\) должен быть именно отрезком \([a; b]\), то \(a\) должно быть строго больше 45.
Например, \(A = [45.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
