Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.
Задача 1
В треугольнике ABC EF — средняя линия. Площадь треугольника BEF равна 12. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение:
Средняя линия треугольника EF соединяет середины двух сторон (например, BE и BF, если E на AC, F на BC, но по рисунку E на BC, F на AB). Треугольник BEF подобен треугольнику ABC.
Если EF — средняя линия, то она параллельна третьей стороне (AC) и равна её половине.
Также, если EF — средняя линия, то она делит стороны AB и BC пополам. То есть, \(BE = \frac{1}{2} BC\) и \(BF = \frac{1}{2} BA\).
Коэффициент подобия треугольников BEF и ABC равен \(\frac{1}{2}\).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
\[\frac{S_{BEF}}{S_{ABC}} = k^2\]
где \(k = \frac{1}{2}\).
\[\frac{S_{BEF}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\]
Нам дана площадь треугольника BEF, \(S_{BEF} = 12\).
\[\frac{12}{S_{ABC}} = \frac{1}{4}\]
Чтобы найти \(S_{ABC}\), умножим обе части на 4 и на \(S_{ABC}\):
\[S_{ABC} = 12 \cdot 4\]
\[S_{ABC} = 48\]
Ответ: 48
Задача 2
Даны векторы \(\vec{a}(3; -4)\), \(\vec{b}(-5; 6)\) и \(\vec{c}(1; -7)\). Найдите длину вектора \(\vec{a}+2\vec{b}-\vec{c}\).
Решение:
Сначала найдем координаты вектора \(\vec{d} = \vec{a}+2\vec{b}-\vec{c}\).
Для этого выполним операции над координатами:
\[2\vec{b} = 2 \cdot (-5; 6) = (-10; 12)\]
Теперь сложим и вычтем координаты:
\[\vec{d}_x = a_x + 2b_x - c_x = 3 + (-10) - 1 = 3 - 10 - 1 = -8\]
\[\vec{d}_y = a_y + 2b_y - c_y = -4 + 12 - (-7) = -4 + 12 + 7 = 15\]
Итак, вектор \(\vec{d} = (-8; 15)\).
Длина вектора \(\vec{d}(x; y)\) вычисляется по формуле:
\[|\vec{d}| = \sqrt{x^2 + y^2}\]
\[|\vec{d}| = \sqrt{(-8)^2 + (15)^2}\]
\[|\vec{d}| = \sqrt{64 + 225}\]
\[|\vec{d}| = \sqrt{289}\]
\[|\vec{d}| = 17\]
Ответ: 17
Задача 3
В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известно, что \(D_1B = 2AB\). Найдите угол между диагоналями \(BD_1\) и \(CA_1\). Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть сторона основания призмы \(AB = a\). Тогда \(D_1B = 2a\).
В правильной четырёхугольной призме основание — квадрат.
Диагональ основания \(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(D_1DB\). Катет \(DB = a\sqrt{2}\), гипотенуза \(D_1B = 2a\).
Найдем высоту призмы \(DD_1\):
\[DD_1^2 = D_1B^2 - DB^2\]
\[DD_1^2 = (2a)^2 - (a\sqrt{2})^2\]
\[DD_1^2 = 4a^2 - 2a^2\]
\[DD_1^2 = 2a^2\]
\[DD_1 = a\sqrt{2}\]
Итак, высота призмы равна \(a\sqrt{2}\).
Теперь найдем диагональ \(CA_1\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CAA_1\). Катет \(CA\) — это диагональ основания, \(CA = a\sqrt{2}\). Катет \(AA_1\) — это высота призмы, \(AA_1 = DD_1 = a\sqrt{2}\).
\[CA_1^2 = CA^2 + AA_1^2\]
\[CA_1^2 = (a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2\]
\[CA_1^2 = 2a^2 + 2a^2\]
\[CA_1^2 = 4a^2\]
\[CA_1 = 2a\]
Таким образом, \(BD_1 = CA_1 = 2a\). Диагонали равны.
Для нахождения угла между диагоналями \(BD_1\) и \(CA_1\) воспользуемся методом координат.
Пусть вершина \(A\) находится в начале координат \((0,0,0)\).
Тогда координаты вершин:
\(A = (0,0,0)\)
\(B = (a,0,0)\)
\(C = (a,a,0)\)
\(D = (0,a,0)\)
\(A_1 = (0,0,a\sqrt{2})\)
\(B_1 = (a,0,a\sqrt{2})\)
\(C_1 = (a,a,a\sqrt{2})\)
\(D_1 = (0,a,a\sqrt{2})\)
Вектор \(\vec{BD_1}\):
\[\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-a, a-0, a\sqrt{2}-0) = (-a, a, a\sqrt{2})\]
Вектор \(\vec{CA_1}\):
\[\vec{CA_1} = A_1 - C = (0-a, 0-a, a\sqrt{2}-0) = (-a, -a, a\sqrt{2})\]
Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{BD_1}\) и \(\vec{CA_1}\):
\[\vec{BD_1} \cdot \vec{CA_1} = (-a)(-a) + (a)(-a) + (a\sqrt{2})(a\sqrt{2})\]
\[\vec{BD_1} \cdot \vec{CA_1} = a^2 - a^2 + 2a^2 = 2a^2\]
Найдем длины векторов:
\[|\vec{BD_1}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a\]
\[|\vec{CA_1}| = \sqrt{(-a)^2 + (-a)^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a\]
Это подтверждает, что длины диагоналей равны \(2a\).
Теперь найдем косинус угла \(\alpha\) между векторами по формуле:
\[\cos \alpha = \frac{\vec{BD_1} \cdot \vec{CA_1}}{|\vec{BD_1}| \cdot |\vec{CA_1}|}\]
\[\cos \alpha = \frac{2a^2}{(2a) \cdot (2a)} = \frac{2a^2}{4a^2} = \frac{1}{2}\]
Угол, косинус которого равен \(\frac{1}{2}\), это \(60^\circ\).
\[\alpha = 60^\circ\]
Ответ: 60
Задача 4
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 13 прыгунов из Италии и 4 прыгуна из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать первым будет выступать прыгун из Италии.
Решение:
Общее количество спортсменов = 25.
Количество прыгунов из Италии = 13.
Количество прыгунов из Мексики = 4.
Количество прыгунов из других стран = \(25 - 13 - 4 = 8\).
Порядок выступлений определяется жеребьёвкой, что означает, что каждый спортсмен имеет равные шансы выступить на любой позиции.
Вероятность того, что на определенной позиции (в данном случае, двадцать первой) будет выступать прыгун из Италии, не зависит от номера позиции. Она равна отношению количества прыгунов из Италии к общему количеству спортсменов.
\[P(\text{прыгун из Италии на 21-м месте}) = \frac{\text{Количество прыгунов из Италии}}{\text{Общее количество спортсменов}}\]
\[P = \frac{13}{25}\]
Переведем в десятичную дробь:
\[P = \frac{13}{25} = \frac{13 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{52}{100} = 0.52\]
Ответ: 0.52
Задача 5
В городе 45% взрослого населения мужчины. Пенсионеры составляют 15,3% взрослого населения, причем доля пенсионеров среди женщин равна 18%. Для проведения исследования социологи случайным образом выбрали взрослого мужчину, проживающего в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
Решение:
Обозначим события:
М — выбранный человек мужчина.
Ж — выбранный человек женщина.
П — выбранный человек пенсионер.
Дано:
\(P(М) = 0.45\) (45% взрослого населения мужчины)
Следовательно, \(P(Ж) = 1 - P(М) = 1 - 0.45 = 0.55\) (55% взрослого населения женщины).
\(P(П) = 0.153\) (15,3% взрослого населения пенсионеры).
\(P(П|Ж) = 0.18\) (доля пенсионеров среди женщин равна 18%).
Нам нужно найти вероятность \(P(П|М)\) — вероятность того, что выбранный мужчина является пенсионером.
Мы знаем, что \(P(П) = P(П \cap М) + P(П \cap Ж)\).
Также \(P(П \cap Ж) = P(П|Ж) \cdot P(Ж)\).
\[P(П \cap Ж) = 0.18 \cdot 0.55 = 0.099\]
Теперь найдем \(P(П \cap М)\):
\[P(П \cap М) = P(П) - P(П \cap Ж)\]
\[P(П \cap М) = 0.153 - 0.099 = 0.054\]
Это вероятность того, что случайно выбранный взрослый человек является мужчиной-пенсионером.
Нам нужна условная вероятность \(P(П|М)\):
\[P(П|М) = \frac{P(П \cap М)}{P(М)}\]
\[P(П|М) = \frac{0.054}{0.45}\]
Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 1000:
\[P(П|М) = \frac{54}{450}\]
Сократим дробь. Оба числа делятся на 2:
\[P(П|М) = \frac{27}{225}\]
Оба числа делятся на 9:
\[P(П|М) = \frac{3}{25}\]
Переведем в десятичную дробь:
\[P(П|М) = \frac{3 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{12}{100} = 0.12\]
Ответ: 0.12
Задача 6
Найдите корень уравнения \(\sqrt{43-6x}=11\).
Решение:
Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
\[(\sqrt{43-6x})^2 = 11^2\]
\[43-6x = 121\]
Теперь решим линейное уравнение:
\[-6x = 121 - 43\]
\[-6x = 78\]
Разделим обе части на -6:
\[x = \frac{78}{-6}\]
\[x = -13\]
Обязательно нужно проверить корень, подставив его в исходное уравнение, так как возведение в квадрат может привести к посторонним корням.
Проверка:
\[\sqrt{43-6(-13)} = 11\]
\[\sqrt{43+78} = 11\]
\[\sqrt{121} = 11\]
\[11 = 11\]
Корень \(x = -13\) является верным.
Ответ: -13
