Задача 4
На числовой прямой даны два промежутка: \(P = [23; 45]\) и \(Q = [34; 56]\). Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка \(A\), что формула
\[(x \notin A) \lor (x \notin P) \land (x \in Q)\]тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной \(x\).
Решение:
Обозначим логические высказывания:
- \(A(x)\) как \(x \in A\)
- \(P(x)\) как \(x \in P\)
- \(Q(x)\) как \(x \in Q\)
Тогда данное выражение можно записать как:
\[\neg A(x) \lor (\neg P(x) \land Q(x))\]Это выражение должно быть тождественно истинно для любого \(x\). Это означает, что если вторая часть выражения \(\neg P(x) \land Q(x)\) ложна, то \(\neg A(x)\) должно быть истинно.
Перепишем выражение, используя импликацию. Выражение \(\neg A \lor B\) эквивалентно \(A \implies B\). В нашем случае \(A\) это \(A(x)\) и \(B\) это \((\neg P(x) \land Q(x))\). Но это не совсем так. Правильнее будет переписать так:
Выражение \(\neg A(x) \lor B(x)\) тождественно истинно, если \(A(x) \implies B(x)\) тождественно истинно. В нашем случае \(B(x) = (\neg P(x) \land Q(x))\).
Значит, для любого \(x\), если \(x \in A\), то должно быть истинно \(\neg P(x) \land Q(x)\).
То есть, если \(x \in A\), то \(x \notin P\) и \(x \in Q\).
Это означает, что отрезок \(A\) должен быть подмножеством множества \(\{x \mid x \notin P \land x \in Q\}\).
Найдем множество \(\{x \mid x \notin P \land x \in Q\}\). Это эквивалентно \(Q \setminus P\).
Даны промежутки:
- \(P = [23; 45]\)
- \(Q = [34; 56]\)
Найдем \(Q \setminus P\):
Множество \(Q\) включает числа от 34 до 56.
Множество \(P\) включает числа от 23 до 45.
Мы ищем числа, которые принадлежат \(Q\), но не принадлежат \(P\).
На числовой прямой это выглядит так:
P: