Задача:
Выберите характеристическое уравнение для РИВ:
Варианты ответов:
- \( \bar{\tau} = \int_0^{X_A} \frac{C_{A0}}{W_A} dX_A \)
- \( \tau = \int_0^{X_A} \frac{C_{A0}}{W_A} dX_A \)
- \( \tau = \frac{C_{A0} X_A}{W_A} \)
- \( \bar{\tau} = \frac{C_{A0} X_A}{W_A} \)
Решение:
Характеристическое уравнение для реактора идеального вытеснения (РИВ) выводится из уравнения материального баланса для элементарного объема реактора.
Для РИВ, который является реактором непрерывного действия, материальный баланс для компонента А в стационарном режиме (когда нет накопления) для элементарного объема \(dV\) можно записать как:
\[ \text{Вход} - \text{Выход} + \text{Генерация} = 0 \]Пусть \(F_{A0}\) - молярный расход компонента А на входе, \(F_A\) - молярный расход компонента А на выходе из элементарного объема, \(W_A\) - скорость реакции (скорость расхода компонента А). Тогда:
\[ F_A - (F_A + dF_A) + W_A dV = 0 \] \[ -dF_A + W_A dV = 0 \] \[ dV = \frac{dF_A}{W_A} \]Мы знаем, что \(F_A = F_{A0} (1 - X_A)\), где \(X_A\) - степень превращения компонента А. Тогда \(dF_A = -F_{A0} dX_A\).
Подставляем это в уравнение для \(dV\):
\[ dV = \frac{-F_{A0} dX_A}{W_A} \]Интегрируем это уравнение по всему объему реактора \(V\) от 0 до \(V\), и по степени превращения от 0 (на входе) до \(X_A\) (на выходе):
\[ \int_0^V dV = \int_0^{X_A} \frac{-F_{A0}}{W_A} dX_A \] \[ V = \int_0^{X_A} \frac{-F_{A0}}{W_A} dX_A \]Обычно скорость реакции \(W_A\) определяется как скорость расхода реагента, поэтому она уже содержит отрицательный знак, или же мы используем \( -W_A \) для скорости образования. Если \(W_A\) - это скорость расхода реагента А, то \(W_A\) будет положительной величиной, и тогда уравнение примет вид:
\[ V = \int_0^{X_A} \frac{F_{A0}}{W_A} dX_A \]Время пребывания (или среднее время пребывания) \( \tau \) для РИВ определяется как отношение объема реактора к объемному расходу на входе \( \nu_0 \):
\[ \tau = \frac{V}{\nu_0} \]Мы также знаем, что \(F_{A0} = C_{A0} \nu_0\), где \(C_{A0}\) - начальная концентрация компонента А.
Тогда \(V = \tau \nu_0\).
Подставляем \(V\) в уравнение для интеграла:
\[ \tau \nu_0 = \int_0^{X_A} \frac{C_{A0} \nu_0}{W_A} dX_A \]Сокращаем \( \nu_0 \) с обеих сторон:
\[ \tau = \int_0^{X_A} \frac{C_{A0}}{W_A} dX_A \]Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами:
- Вариант 1: \( \bar{\tau} = \int_0^{X_A} \frac{C_{A0}}{W_A} dX_A \)
- Вариант 2: \( \tau = \int_0^{X_A} \frac{C_{A0}}{W_A} dX_A \)
Оба варианта 1 и 2 выглядят очень похоже. Разница в использовании \( \bar{\tau} \) или \( \tau \). Для РИВ время пребывания \( \tau \) является однозначной величиной, так как все частицы проходят через реактор за одно и то же время (при идеальном вытеснении). Поэтому обычно используется просто \( \tau \).
Варианты 3 и 4 являются упрощенными выражениями, которые могут быть применимы только для очень специфических случаев (например, для реакции нулевого порядка или при постоянной скорости реакции), но не являются общим характеристическим уравнением для РИВ.
Таким образом, наиболее точным и общим характеристическим уравнением для РИВ является вариант 2.
Вывод:
Характеристическое уравнение для реактора идеального вытеснения (РИВ) выражает время пребывания как интеграл от отношения начальной концентрации к скорости реакции по степени превращения.
Правильный ответ: 2. \( \tau = \int_0^{X_A} \frac{C_{A0}}{W_A} dX_A \)