Уравнение теплового баланса реактора непрерывного действия

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь:

Задача:

Какой вид имеет общее уравнение теплового баланса реактора непрерывного действия, работающего в политермическом режиме, для экзотермической реакции?

Варианты ответов:

1. \(Q_{вх} - Q_{вых} + Q_{х.р} + Q_{т.о} = Q_{нак}\)
2. \(Q_{вх} - Q_{вых} + Q_{х.р} + Q_{т.о} = 0\)
3. \(Q_{вх} - Q_{вых} - Q_{х.р} + Q_{т.о} = Q_{нак}\)
4. \(Q_{вх} - Q_{вых} + Q_{х.р} - Q_{т.о} = 0\)

Решение:

Общее уравнение теплового баланса для реактора непрерывного действия можно записать в виде:

\[ \text{Тепло на входе} - \text{Тепло на выходе} + \text{Тепло от реакции} - \text{Теплообмен с окружающей средой} = \text{Накопление тепла} \]

Давайте разберем каждый член уравнения для заданных условий:

• \(Q_{вх}\) – Тепло, поступающее в реактор с входящими потоками реагентов. Всегда положительно.
• \(Q_{вых}\) – Тепло, уносимое из реактора выходящими потоками продуктов и непрореагировавших реагентов. Всегда положительно.
• \(Q_{х.р}\) – Тепловой эффект химической реакции.
  • Для экзотермической реакции тепло выделяется, поэтому \(Q_{х.р}\) будет положительным (прибавляется к системе).
  • Для эндотермической реакции тепло поглощается, и \(Q_{х.р}\) было бы отрицательным (вычиталось бы из системы).
• \(Q_{т.о}\) – Теплообмен с окружающей средой (или с теплоносителем).
  • Если тепло отводится из реактора (например, через рубашку охлаждения), то \(Q_{т.о}\) будет положительным, и в уравнении оно будет со знаком минус (поскольку это потеря тепла для системы).
  • Если тепло подводится к реактору, то \(Q_{т.о}\) будет отрицательным, и в уравнении оно будет со знаком плюс.
  • В контексте "теплообмен с окружающей средой" часто подразумевается отвод тепла, поэтому его обычно вычитают из баланса.
• \(Q_{нак}\) – Накопление тепла в реакторе.
  • Если реактор работает в стационарном режиме, то накопление тепла равно нулю (\(Q_{нак} = 0\)).
  • Если реактор работает в политермическом режиме, это означает, что температура в реакторе может изменяться, и, следовательно, может происходить накопление тепла (\(Q_{нак} \neq 0\)).

Теперь соберем уравнение, учитывая, что реакция экзотермическая (тепло выделяется, \(+Q_{х.р}\)) и реактор работает в политермическом режиме (есть накопление тепла, \(Q_{нак}\)). Теплообмен с окружающей средой (отвод тепла) обычно записывается как вычитание \(Q_{т.о}\) из системы.

\[ Q_{вх} - Q_{вых} + Q_{х.р} - Q_{т.о} = Q_{нак} \]

Сравним это с предложенными вариантами:

1. \(Q_{вх} - Q_{вых} + Q_{х.р} + Q_{т.о} = Q_{нак}\)

Здесь \(Q_{т.о}\) прибавляется, что означало бы подвод тепла к реактору, а не отвод. Это не соответствует стандартной записи отвода тепла.

2. \(Q_{вх} - Q_{вых} + Q_{х.р} + Q_{т.о} = 0\)

То же замечание по \(Q_{т.о}\), и кроме того, \(Q_{нак}\) равно нулю, что соответствует стационарному (изотермическому или адиабатическому) режиму, а не политермическому.

3. \(Q_{вх} - Q_{вых} - Q_{х.р} + Q_{т.о} = Q_{нак}\)

Здесь \(Q_{х.р}\) вычитается, что соответствует эндотермической реакции, а не экзотермической. Также \(Q_{т.о}\) прибавляется.

4. \(Q_{вх} - Q_{вых} + Q_{х.р} - Q_{т.о} = 0\)

Это уравнение соответствует экзотермической реакции и правильному знаку для отвода тепла, но \(Q_{нак}\) равно нулю, что означает стационарный режим. Однако, в условии сказано "политермический режим", что подразумевает изменение температуры и, следовательно, накопление тепла.

Возможно, в вариантах ответов есть небольшая неточность или подразумевается, что \(Q_{т.о}\) уже включает в себя знак. Если \(Q_{т.о}\) определено как тепло, отводимое из системы, то оно должно быть со знаком минус в левой части уравнения. Если же \(Q_{т.о}\) определено как тепло, которое система получает от теплообмена, то для отвода тепла оно будет отрицательным, и тогда \(+Q_{т.о}\) в уравнении будет означать отвод тепла.

Давайте пересмотрим вариант 1: \(Q_{вх} - Q_{вых} + Q_{х.р} + Q_{т.о} = Q_{нак}\).
Если \(Q_{т.о}\) в этом варианте обозначает тепло, которое система получает от теплообмена, то для отвода тепла \(Q_{т.о}\) будет отрицательным. Тогда \(+Q_{т.о}\) в уравнении будет означать отвод тепла. Это стандартная конвенция в некоторых учебниках.

При такой конвенции:

• \(Q_{вх}\) – тепло, поступающее с потоками.
• \(Q_{вых}\) – тепло, уходящее с потоками.
• \(Q_{х.р}\) – тепло, выделяющееся при экзотермической реакции (положительное).
• \(Q_{т.о}\) – тепло, получаемое системой от теплообмена. Если тепло отводится, то \(Q_{т.о} < 0\).
• \(Q_{нак}\) – накопление тепла в системе (для политермического режима \(Q_{нак} \neq 0\)).

Тогда уравнение будет:

\[ Q_{вх} - Q_{вых} + Q_{х.р} + Q_{т.о} = Q_{нак} \]

Это соответствует варианту 1.

Вывод:

Принимая стандартную конвенцию, что \(Q_{т.о}\) – это тепло, получаемое системой от теплообмена (и оно будет отрицательным при отводе тепла), и учитывая, что реакция экзотермическая (выделяет тепло) и режим политермический (есть накопление тепла), правильным является вариант 1.

Правильный ответ:

1. \(Q_{вх} - Q_{вых} + Q_{х.р} + Q_{т.о} = Q_{нак}\)