Задача 3.
Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(x^2 - 14x + 10 = 0\). Не решая уравнение, вычислите: \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} - 6\).
Решение:
1. Запишем данное квадратное уравнение:
\[x^2 - 14x + 10 = 0\]2. Для этого уравнения коэффициенты равны:
\[a = 1\] \[b = -14\] \[c = 10\]3. По теореме Виета для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) сумма корней \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) и произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\).
4. Применим теорему Виета к нашему уравнению:
\[x_1 + x_2 = -\frac{-14}{1} = 14\] \[x_1 \cdot x_2 = \frac{10}{1} = 10\]5. Теперь преобразуем выражение, которое нужно вычислить:
\[\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} - 6\]6. Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю \(x_1 \cdot x_2\):
\[\frac{x_1 \cdot x_1}{x_2 \cdot x_1} + \frac{x_2 \cdot x_2}{x_1 \cdot x_2} - 6 = \frac{x_1^2}{x_1 x_2} + \frac{x_2^2}{x_1 x_2} - 6 = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} - 6\]7. Мы знаем, что \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2\). Подставим это в выражение:
\[\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2} - 6\]8. Теперь подставим значения суммы и произведения корней, найденные по теореме Виета:
\[\frac{(14)^2 - 2 \cdot 10}{10} - 6\]9. Выполним вычисления:
\[\frac{196 - 20}{10} - 6\] \[\frac{176}{10} - 6\] \[17.6 - 6\] \[11.6\]Ответ:
\[11.6\]