Задача:
Какое уравнение характеризует работу РИВ в адиабатических условиях?
Варианты ответов:
- \((-\Delta H) dX_A = \frac{K \cdot dF \cdot \Delta T_{т.о}}{C_{A0} V_0}\)
- \((-\Delta H) X_A = c'_p (T - T_0)\)
- \((-\Delta H) dX_A = c'_p dT\)
- \(c'_p dT = \frac{K \cdot dF \cdot \Delta T_{т.о}}{C_{A0} V_0}\)
Решение:
РИВ означает "Реактор идеального вытеснения".
Адиабатические условия означают, что отсутствует теплообмен с окружающей средой, то есть \(Q_{т.о} = 0\).
Для реактора идеального вытеснения (РИВ) обычно рассматривают дифференциальное уравнение теплового баланса по элементарному объему реактора, так как температура и концентрации изменяются вдоль реактора.
Общее дифференциальное уравнение теплового баланса для элементарного объема РИВ (для реагента А) можно записать как:
\[ F_{A0} (-\Delta H) dX_A - dQ_{т.о} = F_{A0} c'_p dT \]Где:
- \(F_{A0}\) – начальный молярный поток реагента А.
- \((-\Delta H)\) – тепловой эффект реакции (для экзотермической реакции \(\Delta H < 0\), поэтому \((-\Delta H) > 0\)).
- \(dX_A\) – изменение степени превращения реагента А в элементарном объеме.
- \(dQ_{т.о}\) – тепло, отводимое или подводимое к элементарному объему реактора.
- \(c'_p\) – средняя молярная теплоемкость реакционной смеси.
- \(dT\) – изменение температуры в элементарном объеме.
В адиабатических условиях \(dQ_{т.о} = 0\). Тогда уравнение упрощается до:
\[ F_{A0} (-\Delta H) dX_A = F_{A0} c'_p dT \]Разделим обе части на \(F_{A0}\):
\[ (-\Delta H) dX_A = c'_p dT \]Теперь рассмотрим предложенные варианты:
1. \((-\Delta H) dX_A = \frac{K \cdot dF \cdot \Delta T_{т.о}}{C_{A0} V_0}\)
Этот вариант включает член теплообмена (\(K \cdot dF \cdot \Delta T_{т.о}\)), что противоречит адиабатическим условиям.
2. \((-\Delta H) X_A = c'_p (T - T_0)\)
Это уравнение является интегральной формой теплового баланса для адиабатического реактора, связывающей полную степень превращения \(X_A\) с изменением температуры от начальной \(T_0\) до текущей \(T\). Оно получается интегрированием дифференциального уравнения. Это уравнение характеризует работу РИВ в адиабатических условиях, но является интегральным, а не дифференциальным.
3. \((-\Delta H) dX_A = c'_p dT\)
Это точно соответствует выведенному нами дифференциальному уравнению теплового баланса для РИВ в адиабатических условиях. Оно описывает изменение температуры \(dT\) при изменении степени превращения \(dX_A\) в элементарном объеме реактора.
4. \(c'_p dT = \frac{K \cdot dF \cdot \Delta T_{т.о}}{C_{A0} V_0}\)
Этот вариант также включает член теплообмена, что противоречит адиабатическим условиям.
Хотя вариант 2 является интегральной формой, вариант 3 является дифференциальной формой, которая описывает процесс "в каждой точке" реактора, что более фундаментально для РИВ. В контексте "какое уравнение характеризует работу", оба могут быть верны, но дифференциальная форма часто считается более общей для описания процессов в РИВ.
Однако, если вопрос подразумевает связь между общей степенью превращения и изменением температуры от входа до выхода, то вариант 2 также очень важен. Но обычно, когда спрашивают "уравнение характеризует работу РИВ", имеют в виду дифференциальную форму.
Давайте еще раз посмотрим на формулировку. "Какое уравнение характеризует работу РИВ в адиабатических условиях?". Оба варианта 2 и 3 описывают это. Но вариант 3 является дифференциальным, а вариант 2 - интегральным. В задачах по химической технологии часто требуется именно дифференциальная форма для анализа процессов внутри реактора.
Если бы был только один правильный ответ, и оба варианта 2 и 3 были бы предложены, то обычно выбирают дифференциальную форму как более "базовую" для описания элементарного изменения.
Однако, если мы говорим о "характеризует работу", то интегральное уравнение (вариант 2) дает прямую связь между достигнутой степенью превращения и изменением температуры, что очень удобно для расчетов и понимания общего результата работы реактора.
Давайте предположим, что вопрос ищет наиболее прямое и часто используемое соотношение для адиабатического РИВ. Интегральная форма (вариант 2) очень часто используется для определения температуры на выходе или степени превращения при заданной температуре.
Перепроверим вывод интегральной формы:
Интегрируя \((-\Delta H) dX_A = c'_p dT\) от \(X_A = 0\) до \(X_A\) и от \(T = T_0\) до \(T\):
\[ \int_{0}^{X_A} (-\Delta H) dX_A = \int_{T_0}^{T} c'_p dT \]Если \((-\Delta H)\) и \(c'_p\) можно считать постоянными в данном температурном интервале, то:
\[ (-\Delta H) X_A = c'_p (T - T_0) \]Это точно соответствует варианту 2.
Таким образом, оба уравнения (дифференциальное и интегральное) характеризуют работу РИВ в адиабатических условиях. Однако, вариант 2 является более "завершенным" уравнением, связывающим конечные параметры (степень превращения и температуру) для всего реактора, что часто подразумевается под "характеризует работу".
Вывод:
Уравнение \((-\Delta H) X_A = c'_p (T - T_0)\) является интегральной формой теплового баланса для РИВ в адиабатических условиях и напрямую связывает степень превращения с изменением температуры. Оно наиболее полно характеризует результат работы реактора.
Правильный ответ:
2. \((-\Delta H) X_A = c'_p (T - T_0)\)