Домашнее задание к уроку
Задача 1
Диагонали ромба равны 30 см и 16 см. Найти его сторону и площадь.Дано:
Ромб \(ABCD\)
Диагональ \(d_1 = AC = 30\) см
Диагональ \(d_2 = BD = 16\) см
Найти:
Сторону ромба \(a\)
Площадь ромба \(S\)
Решение:
1. В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей будет \(O\).
Тогда \(AO = \frac{AC}{2} = \frac{30}{2} = 15\) см.
И \(BO = \frac{BD}{2} = \frac{16}{2} = 8\) см.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOB\). Стороны \(AO\) и \(BO\) являются катетами, а сторона ромба \(AB\) является гипотенузой.
По теореме Пифагора:
\[AB^2 = AO^2 + BO^2\] \[AB^2 = 15^2 + 8^2\] \[AB^2 = 225 + 64\] \[AB^2 = 289\] \[AB = \sqrt{289}\] \[AB = 17\]Таким образом, сторона ромба \(a = 17\) см.
3. Площадь ромба можно найти по формуле, используя длины его диагоналей:
\[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 16\] \[S = 15 \cdot 16\] \[S = 240\]Таким образом, площадь ромба \(S = 240\) см\(^2\).
Ответ: Сторона ромба равна 17 см, площадь ромба равна 240 см\(^2\).
Задача 2
Найти сторону ромба, если его диагонали относятся как 2:7, а площадь равна 28 см квадратных.Дано:
Ромб \(ABCD\)
Отношение диагоналей \(d_1 : d_2 = 2 : 7\)
Площадь ромба \(S = 28\) см\(^2\)
Найти:
Сторону ромба \(a\)
Решение:
1. Пусть диагонали ромба будут \(d_1\) и \(d_2\). Известно, что \(d_1 : d_2 = 2 : 7\). Это можно записать как:
\[d_1 = 2x\] \[d_2 = 7x\]где \(x\) - некоторый коэффициент пропорциональности.
2. Площадь ромба \(S\) выражается через диагонали по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\]Подставим известные значения:
\[28 = \frac{1}{2} \cdot (2x) \cdot (7x)\] \[28 = \frac{1}{2} \cdot 14x^2\] \[28 = 7x^2\]Разделим обе части уравнения на 7:
\[x^2 = \frac{28}{7}\] \[x^2 = 4\] \[x = \sqrt{4}\] \[x = 2\]Мы берем только положительное значение, так как длина не может быть отрицательной.
3. Теперь найдем длины диагоналей:
\[d_1 = 2x = 2 \cdot 2 = 4\] \[d_2 = 7x = 7 \cdot 2 = 14\]Итак, диагонали ромба равны 4 см и 14 см.
4. В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей будет \(O\).
Тогда половины диагоналей будут:
\[\frac{d_1}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[\frac{d_2}{2} = \frac{14}{2} = 7\]5. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Сторона ромба является гипотенузой.
По теореме Пифагора:
\[a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2\] \[a^2 = 2^2 + 7^2\] \[a^2 = 4 + 49\] \[a^2 = 53\] \[a = \sqrt{53}\]Таким образом, сторона ромба \(a = \sqrt{53}\) см.
Ответ: Сторона ромба равна \(\sqrt{53}\) см.