Решение задачи из Домашней работы №10

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Домашняя работа №10 1. Для записи сообщения использовался 32-символьный алфавит. Каждая страница содержит 40 строк. Все сообщение содержит 42400 байт информации и занимает 6 страниц. Сколько символов в строке? Решение: 1. Найдем информационный вес одного символа. Для 32-символьного алфавита количество информации, которое несет один символ, \(i\), определяется по формуле: \[N = 2^i\] где \(N\) – количество символов в алфавите. Подставляем \(N = 32\): \[32 = 2^i\] \[2^5 = 2^i\] Значит, \(i = 5\) бит. Один символ несет 5 бит информации. 2. Найдем общее количество бит в сообщении. Общий объем информации в сообщении \(I = 42400\) байт. Переведем байты в биты, зная, что 1 байт = 8 бит: \[I_{бит} = 42400 \text{ байт} \times 8 \text{ бит/байт} = 339200 \text{ бит}\] 3. Найдем общее количество символов в сообщении. Общее количество символов \(K\) можно найти, разделив общий объем информации в битах на информационный вес одного символа: \[K = \frac{I_{бит}}{i} = \frac{339200 \text{ бит}}{5 \text{ бит/символ}} = 67840 \text{ символов}\] 4. Найдем количество символов на одной странице. Все сообщение занимает 6 страниц. Количество символов на одной странице \(K_{страница}\) равно: \[K_{страница} = \frac{K}{6} = \frac{67840 \text{ символов}}{6} \approx 11306,67 \text{ символов}\] Так как количество символов должно быть целым, возможно, в условии есть небольшая неточность или округление. Будем считать, что на каждой странице одинаковое количество символов. 5. Найдем количество символов в одной строке. Каждая страница содержит 40 строк. Количество символов в одной строке \(K_{строка}\) равно: \[K_{строка} = \frac{K_{страница}}{40} = \frac{11306,67 \text{ символов}}{40} \approx 282,67 \text{ символов}\] Опять же, получаем нецелое число. Если предположить, что количество символов в строке должно быть целым, то либо исходные данные округлены, либо нужно перепроверить условие. Если же мы хотим получить целое число, то можно пересчитать, исходя из того, что 42400 байт - это точное значение. Давайте пересчитаем, если количество символов в строке должно быть целым. Если \(K_{строка}\) - целое число, то \(K_{страница} = 40 \times K_{строка}\) - тоже целое. И \(K = 6 \times K_{страница} = 6 \times 40 \times K_{строка} = 240 \times K_{строка}\). Тогда \(67840\) должно делиться на \(240\). \(67840 / 240 = 282,666...\) Это подтверждает, что с данными из условия получить целое количество символов в строке невозможно. Если же мы должны дать ответ, максимально близкий к реальности, то это 282 или 283 символа. Предположим, что в задаче подразумевается, что все числа должны быть целыми, и, возможно, есть небольшая погрешность в исходных данных. Если бы общее количество символов было, например, 67800, то: \(K_{страница} = 67800 / 6 = 11300\) символов на странице. \(K_{строка} = 11300 / 40 = 282,5\) символа в строке. Все равно не целое. Давайте перепроверим, если 42400 байт - это точное значение, и 6 страниц, 40 строк. Если \(K_{строка}\) - количество символов в строке, то общее количество символов \(K = K_{строка} \times 40 \times 6 = 240 \times K_{строка}\). Общий объем информации \(I = K \times i = 240 \times K_{строка} \times 5 \text{ бит} = 1200 \times K_{строка} \text{ бит}\). Мы знаем, что \(I = 42400 \text{ байт} = 42400 \times 8 \text{ бит} = 339200 \text{ бит}\). Тогда \(1200 \times K_{строка} = 339200\). \(K_{строка} = \frac{339200}{1200} = \frac{3392}{12} = \frac{848}{3} = 282,666...\) Таким образом, с данными из условия, количество символов в строке не является целым числом. Если требуется дать ответ, то это будет 282 или 283 символа, в зависимости от округления. В школьных задачах часто подразумевается, что ответы должны быть целыми. Возможно, в условии опечатка. Если бы, например, объем был 42300 байт, то \(338400\) бит. \(338400 / 1200 = 282\) символа в строке. Если бы объем был 42450 байт, то \(339600\) бит. \(339600 / 1200 = 283\) символа в строке. Будем считать, что в условии подразумевается, что количество символов в строке должно быть целым, и ближайшее целое число к 282,67 - это 283. Ответ: В строке примерно 283 символа. 2. Сообщение, записанное буквами из 5 символьного алфавита, содержит 1030 символов. Какой объем информации в битах оно несет? Решение: 1. Найдем информационный вес одного символа. Для 5-символьного алфавита количество информации, которое несет один символ, \(i\), определяется по формуле: \[N = 2^i\] где \(N\) – количество символов в алфавите. Подставляем \(N = 5\): \[5 = 2^i\] Чтобы найти \(i\), нужно взять логарифм по основанию 2: \[i = \log_2 5\] Так как \(2^2 = 4\) и \(2^3 = 8\), то \(i\) находится между 2 и 3. \(i \approx 2,3219\) бит. В задачах по информатике, если количество символов в алфавите не является степенью двойки, обычно округляют до ближайшего большего целого числа, чтобы каждый символ мог быть однозначно закодирован. То есть, для 5 символов потребуется 3 бита на каждый символ (\(2^3 = 8\), что достаточно для кодирования 5 символов). 2. Найдем общий объем информации в битах. Общее количество символов в сообщении \(K = 1030\). Информационный вес одного символа \(i = 3\) бита (при кодировании). Общий объем информации \(I\) в битах равен: \[I = K \times i = 1030 \text{ символов} \times 3 \text{ бит/символ} = 3090 \text{ бит}\] Ответ: Сообщение несет 3090 бит информации. 3. Информационное сообщение объемом 5580 бит содержит 620 символов. Какой информационный вес 1 символа? Решение: 1. Найдем информационный вес одного символа. Общий объем информации в сообщении \(I = 5580\) бит. Общее количество символов в сообщении \(K = 620\). Информационный вес одного символа \(i\) равен: \[i = \frac{I}{K} = \frac{5580 \text{ бит}}{620 \text{ символов}} = 9 \text{ бит/символ}\] Ответ: Информационный вес 1 символа равен 9 бит. 4. Алфавит содержит 1024 буквы. Какое количество информации несет одна буква? Решение: 1. Найдем количество информации, которое несет одна буква. Количество символов в алфавите \(N = 1024\). Количество информации, которое несет один символ (буква), \(i\), определяется по формуле: \[N = 2^i\] Подставляем \(N = 1024\): \[1024 = 2^i\] Мы знаем, что \(2^{10} = 1024\). Значит, \(i = 10\) бит. Ответ: Одна буква несет 10 бит информации. 5. Переведите в единицы измерения: А) 79462,4 бит = ______ байт = ______ Кбайт Решение: 1. Переведем биты в байты. Мы знаем, что 1 байт = 8 бит. \[79462,4 \text{ бит} = \frac{79462,4}{8} \text{ байт} = 9932,8 \text{ байт}\] 2. Переведем байты в килобайты (Кбайт). Мы знаем, что 1 Кбайт = 1024 байт. \[9932,8 \text{ байт} = \frac{9932,8}{1024} \text{ Кбайт} = 9,7 \text{ Кбайт}\] Ответ: 79462,4 бит = 9932,8 байт = 9,7 Кбайт Б) 6,8 Мбайт = ______ Кб = ______ байт = ______ бит Решение: 1. Переведем мегабайты (Мбайт) в килобайты (Кб). Мы знаем, что 1 Мбайт = 1024 Кбайт. \[6,8 \text{ Мбайт} = 6,8 \times 1024 \text{ Кбайт} = 6963,2 \text{ Кбайт}\] 2. Переведем килобайты (Кб) в байты. Мы знаем, что 1 Кбайт = 1024 байт. \[6963,2 \text{ Кбайт} = 6963,2 \times 1024 \text{ байт} = 7130316,8 \text{ байт}\] 3. Переведем байты в биты. Мы знаем, что 1 байт = 8 бит. \[7130316,8 \text{ байт} = 7130316,8 \times 8 \text{ бит} = 57042534,4 \text{ бит}\] Ответ: 6,8 Мбайт = 6963,2 Кб = 7130316,8 байт = 57042534,4 бит