Решение задачи: Параллелограмм ABCD и биссектриса угла D

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Вариант 2 20. В параллелограмме \(ABCD\) известно, что \(AD = 8\) см, \(CD = 11\) см. Биссектриса угла \(D\) пересекает сторону \(AB\) в точке \(K\). Найдите отрезки \(AK\) и \(KB\). Решение: 1. Нарисуем параллелограмм \(ABCD\). Отметим, что \(AD = BC = 8\) см и \(CD = AB = 11\) см (противоположные стороны параллелограмма равны). 2. Проведем биссектрису угла \(D\). Она пересекает сторону \(AB\) в точке \(K\). 3. Так как \(DK\) — биссектриса угла \(D\), то \(\angle ADK = \angle KDC\). 4. Стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны, а \(DK\) — секущая. Значит, \(\angle KDC = \angle AKD\) как накрест лежащие углы. 5. Из пунктов 3 и 4 следует, что \(\angle ADK = \angle AKD\). 6. В треугольнике \(ADK\) углы при основании \(DK\) равны, значит, треугольник \(ADK\) равнобедренный. 7. Следовательно, \(AK = AD\). 8. По условию \(AD = 8\) см, значит, \(AK = 8\) см. 9. Мы знаем, что \(AB = 11\) см. Отрезок \(AB\) состоит из отрезков \(AK\) и \(KB\), то есть \(AB = AK + KB\). 10. Подставим известные значения: \(11 = 8 + KB\). 11. Отсюда \(KB = 11 - 8 = 3\) см. Ответ: \(AK = 8\) см, \(KB = 3\) см. 21. Биссектриса угла \(C\) параллелограмма \(ABCD\) делит сторону \(AB\) в отношении \(1 : 4\), считая от вершины угла \(A\). Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен \(72\) см. Решение: 1. Нарисуем параллелограмм \(ABCD\). Пусть биссектриса угла \(C\) пересекает сторону \(AB\) в точке \(M\). 2. По условию, биссектриса делит сторону \(AB\) в отношении \(1 : 4\), считая от вершины \(A\). Это означает, что \(AM : MB = 1 : 4\). 3. Пусть \(AM = x\). Тогда \(MB = 4x\). 4. Длина стороны \(AB = AM + MB = x + 4x = 5x\). 5. Так как \(CM\) — биссектриса угла \(C\), то \(\angle BCM = \angle MCD\). 6. Стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны, а \(CM\) — секущая. Значит, \(\angle MCD = \angle BMC\) как накрест лежащие углы. 7. Из пунктов 5 и 6 следует, что \(\angle BCM = \angle BMC\). 8. В треугольнике \(BCM\) углы при основании \(CM\) равны, значит, треугольник \(BCM\) равнобедренный. 9. Следовательно, \(BC = MB\). 10. Мы знаем, что \(MB = 4x\), значит, \(BC = 4x\). 11. Стороны параллелограмма: \(AB = CD = 5x\) и \(BC = AD = 4x\). 12. Периметр параллелограмма равен \(2 \cdot (AB + BC)\). 13. По условию, периметр равен \(72\) см. Значит, \(2 \cdot (5x + 4x) = 72\). 14. \(2 \cdot (9x) = 72\). 15. \(18x = 72\). 16. \(x = 72 / 18 = 4\). 17. Теперь найдем длины сторон: \(AB = 5x = 5 \cdot 4 = 20\) см. \(BC = 4x = 4 \cdot 4 = 16\) см. Ответ: Стороны параллелограмма равны \(20\) см и \(16\) см. 22. В параллелограмме \(ABCD\) угол \(B\) равен \(60^\circ\). Высота \(AH\) делит сторону \(BC\) в отношении \(4 : 7\), считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен \(76\) см. Решение: 1. Нарисуем параллелограмм \(ABCD\). Угол \(B = 60^\circ\). 2. Острый угол параллелограмма — это угол \(A\) или \(C\). Так как \(\angle B = 60^\circ\), то \(\angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Значит, острый угол — это \(\angle D\) или \(\angle B\). В данном случае, если \(\angle B = 60^\circ\), то острый угол — это \(\angle B\) (или \(\angle D\)). 3. Высота \(AH\) проведена к стороне \(BC\). Точка \(H\) лежит на стороне \(BC\). 4. По условию, высота \(AH\) делит сторону \(BC\) в отношении \(4 : 7\), считая от вершины острого угла. Острый угол, к которому относится деление, это \(\angle B\). Значит, \(BH : HC = 4 : 7\). 5. Пусть \(BH = 4x\), тогда \(HC = 7x\). 6. Длина стороны \(BC = BH + HC = 4x + 7x = 11x\). 7. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\) (так как \(AH\) — высота, то \(\angle AHB = 90^\circ\)). 8. В этом треугольнике \(\angle B = 60^\circ\). 9. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Угол \(\angle BAH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). 10. Значит, \(BH = AB / 2\). 11. Мы знаем, что \(BH = 4x\). Следовательно, \(4x = AB / 2\). 12. Отсюда \(AB = 2 \cdot 4x = 8x\). 13. Стороны параллелограмма: \(AB = CD = 8x\) и \(BC = AD = 11x\). 14. Периметр параллелограмма равен \(2 \cdot (AB + BC)\). 15. По условию, периметр равен \(76\) см. Значит, \(2 \cdot (8x + 11x) = 76\). 16. \(2 \cdot (19x) = 76\). 17. \(38x = 76\). 18. \(x = 76 / 38 = 2\). 19. Теперь найдем длины сторон: \(AB = 8x = 8 \cdot 2 = 16\) см. \(BC = 11x = 11 \cdot 2 = 22\) см. Ответ: Стороны параллелограмма равны \(16\) см и \(22\) см. 29. В четырёхугольнике \(ABCD\) (рис. 86) \(AO = OC\), \(\angle ACD = \angle BAC\). Докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) — параллелограмм. Решение: 1. Нарисуем четырёхугольник \(ABCD\) с диагоналями \(AC\) и \(BD\), пересекающимися в точке \(O\). 2. По условию, \(AO = OC\). Это означает, что точка \(O\) является серединой диагонали \(AC\). 3. По условию, \(\angle ACD = \angle BAC\). 4. Рассмотрим прямые \(AB\) и \(CD\) и секущую \(AC\). Углы \(\angle BAC\) и \(\angle ACD\) являются накрест лежащими углами. 5. Так как накрест лежащие углы \(\angle BAC\) и \(\angle ACD\) равны, то прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны (\(AB \parallel CD\)). 6. Теперь у нас есть четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон (\(AB\) и \(CD\)) параллельна. 7. Чтобы доказать, что это параллелограмм, нам нужно показать, что эти стороны также равны, или что диагонали делятся точкой пересечения пополам. 8. Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(COD\). У нас есть: а) \(AO = OC\) (дано). б) \(\angle BAC = \angle ACD\) (дано). в) \(\angle AOB = \angle COD\) как вертикальные углы. 9. По признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих к ней угла, или угол-сторона-угол), треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны (\(\triangle AOB = \triangle COD\)). 10. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: \(AB = CD\) и \(BO = OD\). 11. Мы доказали, что \(AB \parallel CD\) и \(AB = CD\). Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. 12. Также мы доказали, что \(AO = OC\) и \(BO = OD\). Четырёхугольник, у которого диагонали точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Вывод: Четырёхугольник \(ABCD\) является параллелограммом.