Задача:
Характеристическое уравнение единичного реактора КРИС-Н имеет вид:
Выберите один ответ:
- 1. \(X_A = \frac{C_{A0} - C_A}{C_{A0}}\)
- 2. \(\bar{\tau}_i = \frac{C_{A0} \Delta X_{Ai}}{W_{Ai}}\)
- 3. \(\bar{\tau} = \frac{C_{A0} dX_A}{W_A}\)
- 4. \(\bar{\tau} = \int_0^{X_A} \frac{C_{A0}}{W_A} dX_A\)
Решение:
Давайте разберем, что такое КРИС-Н и как выглядит его характеристическое уравнение.
КРИС-Н расшифровывается как Колонный Реактор Идеального Смешения - Непрерывный. Это означает, что это реактор, в котором происходит идеальное перемешивание, и он работает в непрерывном режиме. В таком реакторе концентрация реагентов и продуктов внутри всего объема реактора одинакова и равна концентрации на выходе из реактора.
Характеристическое уравнение реактора связывает время пребывания (или объем реактора) с начальной концентрацией реагента, степенью превращения и скоростью реакции.
Для реактора идеального смешения (КРИС-Н) уравнение материального баланса для стационарного режима (без накопления) по реагенту \(A\) имеет вид:
Вход - Выход - Расход (из-за реакции) = 0
\[F_{A0} - F_A - (-r_A)V = 0\]
Где:
- \(F_{A0}\) — молярный расход реагента \(A\) на входе.
- \(F_A\) — молярный расход реагента \(A\) на выходе.
- \(-r_A\) — скорость расходования реагента \(A\) (положительная величина).
- \(V\) — объем реактора.
Мы знаем, что \(F_A = C_A V_0\), где \(C_A\) — концентрация, а \(V_0\) — объемный расход. Также степень превращения \(X_A\) определяется как: \[X_A = \frac{F_{A0} - F_A}{F_{A0}} = \frac{C_{A0}V_0 - C_A V_0}{C_{A0}V_0} = \frac{C_{A0} - C_A}{C_{A0}}\] Отсюда \(F_A = F_{A0}(1 - X_A)\).
Подставляем это в уравнение материального баланса:
\[F_{A0} - F_{A0}(1 - X_A) - (-r_A)V = 0\]
\[F_{A0} X_A = (-r_A)V\]
Разделим обе части на \(F_{A0}\):
\[X_A = \frac{(-r_A)V}{F_{A0}}\]
Мы знаем, что \(F_{A0} = C_{A0} V_0\), где \(C_{A0}\) — начальная концентрация, а \(V_0\) — объемный расход.
\[X_A = \frac{(-r_A)V}{C_{A0} V_0}\]
Время пребывания \(\bar{\tau}\) (тау) определяется как \(\bar{\tau} = \frac{V}{V_0}\).
Подставляем \(\bar{\tau}\) в уравнение:
\[X_A = \frac{(-r_A) \bar{\tau}}{C_{A0}}\]
Отсюда выразим \(\bar{\tau}\):
\[\bar{\tau} = \frac{C_{A0} X_A}{(-r_A)}\]
В химической кинетике скорость реакции часто обозначается как \(W_A\) или \(-r_A\). Если \(W_A\) — это скорость расходования реагента \(A\), то \((-r_A) = W_A\).
Таким образом, характеристическое уравнение для КРИС-Н имеет вид:
\[\bar{\tau} = \frac{C_{A0} X_A}{W_A}\]
Теперь рассмотрим предложенные варианты:
- 1. \(X_A = \frac{C_{A0} - C_A}{C_{A0}}\): Это определение степени превращения, а не характеристическое уравнение реактора.
- 2. \(\bar{\tau}_i = \frac{C_{A0} \Delta X_{Ai}}{W_{Ai}}\): Этот вариант очень похож на правильный, но содержит \(\Delta X_{Ai}\) и \(W_{Ai}\), что может указывать на ступенчатый процесс или элемент объема, но для единичного КРИС-Н обычно используется общая степень превращения \(X_A\).
- 3. \(\bar{\tau} = \frac{C_{A0} dX_A}{W_A}\): Этот вариант содержит дифференциал \(dX_A\), что характерно для реакторов идеального вытеснения (РИВ), где концентрация и степень превращения изменяются непрерывно вдоль реактора. Для КРИС-Н концентрация и скорость реакции внутри всего объема постоянны.
- 4. \(\bar{\tau} = \int_0^{X_A} \frac{C_{A0}}{W_A} dX_A\): Это интегральная форма уравнения для реактора идеального вытеснения (РИВ), а не для КРИС-Н.
Возвращаясь к варианту 2: \(\bar{\tau}_i = \frac{C_{A0} \Delta X_{Ai}}{W_{Ai}}\). Если \(i\) относится к единичному реактору, а \(\Delta X_{Ai}\) — это общая степень превращения \(X_A\) в этом реакторе, то этот вариант наиболее близок к стандартной форме. Часто в учебниках для КРИС-Н пишут просто \(\bar{\tau} = \frac{C_{A0} X_A}{W_A}\), где \(W_A\) — скорость реакции при конечной концентрации \(C_A\) (или степени превращения \(X_A\)).
Если принять, что \(\Delta X_{Ai}\) в данном контексте означает общую степень превращения \(X_A\) для данного реактора, а \(W_{Ai}\) — это скорость реакции при этой степени превращения, то вариант 2 является наиболее подходящим.
Окончательный ответ:
2. \(\bar{\tau}_i = \frac{C_{A0} \Delta X_{Ai}}{W_{Ai}}\)