Решение контрольной работы по теме "Производная". 1 Вариант

Вот решение контрольной работы по теме "Производная". Контрольная работа по теме "Производная". 1 вариант. 1. Найдите производную функции: а) \(5x^9 + 6x^7 - 5x + 14\) Решение: Для нахождения производной используем правила: 1. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных: \((f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)\). 2. Производная степенной функции: \((x^n)' = nx^{n-1}\). 3. Производная константы: \((C)' = 0\). 4. Производная константы, умноженной на функцию: \((Cf(x))' = Cf'(x)\). \[(5x^9 + 6x^7 - 5x + 14)' = (5x^9)' + (6x^7)' - (5x)' + (14)'\] \[= 5 \cdot 9x^{9-1} + 6 \cdot 7x^{7-1} - 5 \cdot 1x^{1-1} + 0\] \[= 45x^8 + 42x^6 - 5x^0\] \[= 45x^8 + 42x^6 - 5\] Ответ: \(45x^8 + 42x^6 - 5\) б) \(2x^3 - \frac{1}{x}\) Решение: Перепишем функцию в виде: \(2x^3 - x^{-1}\). Используем те же правила, что и в пункте а). \[(2x^3 - x^{-1})' = (2x^3)' - (x^{-1})'\] \[= 2 \cdot 3x^{3-1} - (-1)x^{-1-1}\] \[= 6x^2 - (-1)x^{-2}\] \[= 6x^2 + x^{-2}\] \[= 6x^2 + \frac{1}{x^2}\] Ответ: \(6x^2 + \frac{1}{x^2}\) в) \(5\sin x + 2\operatorname{tg} x\) Решение: Используем правила: 1. Производная синуса: \((\sin x)' = \cos x\). 2. Производная тангенса: \((\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\). \[(5\sin x + 2\operatorname{tg} x)' = (5\sin x)' + (2\operatorname{tg} x)'\] \[= 5(\sin x)' + 2(\operatorname{tg} x)'\] \[= 5\cos x + 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}\] \[= 5\cos x + \frac{2}{\cos^2 x}\] Ответ: \(5\cos x + \frac{2}{\cos^2 x}\) г) \(5\sqrt{x}\) Решение: Перепишем функцию в виде: \(5x^{\frac{1}{2}}\). Используем правило производной степенной функции. \[(5x^{\frac{1}{2}})' = 5 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}\] \[= \frac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}}\] \[= \frac{5}{2\sqrt{x}}\] Ответ: \(\frac{5}{2\sqrt{x}}\) 2. Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), если а) \(f(x)=3x^4 - 2x\), \(x_0=5\) Решение: Сначала найдем производную функции \(f(x)\): \[f'(x) = (3x^4 - 2x)' = (3x^4)' - (2x)'\] \[= 3 \cdot 4x^{4-1} - 2 \cdot 1x^{1-1}\] \[= 12x^3 - 2x^0\] \[= 12x^3 - 2\] Теперь подставим значение \(x_0=5\) в производную: \[f'(5) = 12 \cdot (5)^3 - 2\] \[= 12 \cdot 125 - 2\] \[= 1500 - 2\] \[= 1498\] Ответ: \(1498\) б) \(f(x)=\frac{1}{x}\), \(x_0=-2\) Решение: Перепишем функцию в виде: \(f(x) = x^{-1}\). Найдем производную функции \(f(x)\): \[f'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1}\] \[= -x^{-2}\] \[= -\frac{1}{x^2}\] Теперь подставим значение \(x_0=-2\) в производную: \[f'(-2) = -\frac{1}{(-2)^2}\] \[= -\frac{1}{4}\] Ответ: \(-\frac{1}{4}\) в) \(f(x)=2\cos x\), \(x_0=\Pi\) Решение: Найдем производную функции \(f(x)\): \[f'(x) = (2\cos x)' = 2(\cos x)'\] \[= 2(-\sin x)\] \[= -2\sin x\] Теперь подставим значение \(x_0=\Pi\) в производную: \[f'(\Pi) = -2\sin(\Pi)\] Мы знаем, что \(\sin(\Pi) = 0\). \[f'(\Pi) = -2 \cdot 0\] \[= 0\] Ответ: \(0\) 3. Найдите производную функции \(y = \frac{1-x}{x^2+8}\) Решение: Для нахождения производной частного используем правило: \[\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\] Здесь \(u = 1-x\) и \(v = x^2+8\). Найдем производные \(u'\) и \(v'\): \[u' = (1-x)' = (1)' - (x)' = 0 - 1 = -1\] \[v' = (x^2+8)' = (x^2)' + (8)' = 2x + 0 = 2x\] Теперь подставим эти значения в формулу для производной частного: \[y' = \frac{(-1)(x^2+8) - (1-x)(2x)}{(x^2+8)^2}\] Раскроем скобки в числителе: \[y' = \frac{-x^2-8 - (2x - 2x^2)}{(x^2+8)^2}\] \[y' = \frac{-x^2-8 - 2x + 2x^2}{(x^2+8)^2}\] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[y' = \frac{(-x^2+2x^2) - 2x - 8}{(x^2+8)^2}\] \[y' = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2+8)^2}\] Ответ: \(y' = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2+8)^2}\) 4. Найдите производную функции \(y =(5x^2+2x)(3-4x^2)\) Решение: Для нахождения производной произведения используем правило: \[(uv)' = u'v + uv'\] Здесь \(u = 5x^2+2x\) и \(v = 3-4x^2\). Найдем производные \(u'\) и \(v'\): \[u' = (5x^2+2x)' = (5x^2)' + (2x)' = 5 \cdot 2x + 2 \cdot 1 = 10x + 2\] \[v' = (3-4x^2)' = (3)' - (4x^2)' = 0 - 4 \cdot 2x = -8x\] Теперь подставим эти значения в формулу для производной произведения: \[y' = (10x+2)(3-4x^2) + (5x^2+2x)(-8x)\] Раскроем скобки: \[y' = (10x \cdot 3 + 10x \cdot (-4x^2) + 2 \cdot 3 + 2 \cdot (-4x^2)) + (5x^2 \cdot (-8x) + 2x \cdot (-8x))\] \[y' = (30x - 40x^3 + 6 - 8x^2) + (-40x^3 - 16x^2)\] \[y' = 30x - 40x^3 + 6 - 8x^2 - 40x^3 - 16x^2\] Приведем подобные слагаемые: \[y' = (-40x^3 - 40x^3) + (-8x^2 - 16x^2) + 30x + 6\] \[y' = -80x^3 - 24x^2 + 30x + 6\] Ответ: \(y' = -80x^3 - 24x^2 + 30x + 6\) 5*. Найдите значение производной функции \(f(x)=(5x-3)^3\), \(x_0=2\) Решение: Для нахождения производной сложной функции используем правило цепи: \[(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\] Здесь внешняя функция \(f(u) = u^3\), а внутренняя функция \(g(x) = 5x-3\). Найдем производные: \[f'(u) = (u^3)' = 3u^2\] \[g'(x) = (5x-3)' = (5x)' - (3)' = 5 - 0 = 5\] Теперь подставим эти значения в правило цепи: \[f'(x) = 3(5x-3)^2 \cdot 5\] \[f'(x) = 15(5x-3)^2\] Теперь подставим значение \(x_0=2\) в производную: \[f'(2) = 15(5 \cdot 2 - 3)^2\] \[f'(2) = 15(10 - 3)^2\] \[f'(2) = 15(7)^2\] \[f'(2) = 15 \cdot 49\] Вычислим \(15 \cdot 49\): \(15 \cdot 49 = 15 \cdot (50 - 1) = 15 \cdot 50 - 15 \cdot 1 = 750 - 15 = 735\) \[f'(2) = 735\] Ответ: \(735\)