Задача: Точки пересечения прямых.
Условие задания:
На странице тетради сначала изобразили 2 пересекающиеся прямые, а затем 3 параллельные прямые.
Рассмотрим все возможные варианты расположения прямых. Сколько всего точек пересечения может быть?
(Правильными могут быть несколько ответов.)
Решение:
Давайте разберем задачу по шагам.
Шаг 1: Изобразили 2 пересекающиеся прямые.
Когда две прямые пересекаются, они имеют ровно одну точку пересечения.
Количество точек пересечения: 1.
Шаг 2: Добавили 3 параллельные прямые.
Теперь у нас есть две пересекающиеся прямые и три параллельные прямые. Нам нужно рассмотреть все возможные варианты расположения этих прямых относительно друг друга.
Вариант 1: Все 3 параллельные прямые не пересекают ни одну из первых двух пересекающихся прямых.
Это невозможно, так как прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны. Если 3 параллельные прямые не пересекают первые две, то они должны быть параллельны им, что противоречит условию, что первые две прямые пересекаются.
Поэтому, каждая из 3 параллельных прямых обязательно пересечет хотя бы одну из первых двух прямых.
Вариант 2: Каждая из 3 параллельных прямых пересекает обе первые прямые.
Пусть первые две прямые будут \(L_1\) и \(L_2\). Они пересекаются в одной точке \(P_1\).
Пусть три параллельные прямые будут \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\).
Если \(M_1\) пересекает \(L_1\) и \(L_2\), то она добавляет 2 новые точки пересечения (по одной с каждой прямой). При этом \(M_1\) не пересекает \(M_2\) и \(M_3\), так как они параллельны.
Если \(M_2\) пересекает \(L_1\) и \(L_2\), она также добавляет 2 новые точки пересечения.
Если \(M_3\) пересекает \(L_1\) и \(L_2\), она также добавляет 2 новые точки пересечения.
В этом случае, общее количество точек пересечения будет:
1 (от \(L_1\) и \(L_2\)) + 2 (от \(M_1\) с \(L_1\) и \(L_2\)) + 2 (от \(M_2\) с \(L_1\) и \(L_2\)) + 2 (от \(M_3\) с \(L_1\) и \(L_2\)) = 7 точек.
Это один из возможных ответов.
Вариант 3: Одна из параллельных прямых проходит через точку пересечения первых двух прямых.
Пусть \(M_1\) проходит через точку \(P_1\) (пересечение \(L_1\) и \(L_2\)). В этом случае \(M_1\) добавляет 0 новых точек пересечения с \(L_1\) и \(L_2\), так как она уже проходит через их общую точку.
Остальные две параллельные прямые, \(M_2\) и \(M_3\), пересекают \(L_1\) и \(L_2\) в 2 точках каждая (как в Варианте 2).
Общее количество точек пересечения будет:
1 (от \(L_1\) и \(L_2\)) + 0 (от \(M_1\)) + 2 (от \(M_2\) с \(L_1\) и \(L_2\)) + 2 (от \(M_3\) с \(L_1\) и \(L_2\)) = 5 точек.
Это еще один возможный ответ.
Вариант 4: Две из параллельных прямых проходят через точку пересечения первых двух прямых.
Это невозможно, так как две параллельные прямые не могут пересекаться в одной точке.
Вариант 5: Все три параллельные прямые проходят через точку пересечения первых двух прямых.
Это также невозможно по той же причине, что и Вариант 4.
Вариант 6: Одна из параллельных прямых совпадает с одной из первых двух прямых.
Это невозможно, так как параллельные прямые не могут совпадать с пересекающимися прямыми, если они не параллельны друг другу.
Вариант 7: Одна из параллельных прямых параллельна одной из первых двух прямых.
Пусть \(M_1\) параллельна \(L_1\). Тогда \(M_1\) не пересекает \(L_1\), но пересекает \(L_2\) в одной точке.
Пусть \(M_2\) параллельна \(L_2\). Тогда \(M_2\) не пересекает \(L_2\), но пересекает \(L_1\) в одной точке.
Пусть \(M_3\) пересекает обе \(L_1\) и \(L_2\) в двух точках.
В этом случае, общее количество точек пересечения будет:
1 (от \(L_1\) и \(L_2\)) + 1 (от \(M_1\) с \(L_2\)) + 1 (от \(M_2\) с \(L_1\)) + 2 (от \(M_3\) с \(L_1\) и \(L_2\)) = 5 точек.
Это также 5 точек, как в Варианте 3.
Вариант 8: Все три параллельные прямые параллельны одной из первых двух прямых.
Пусть \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) параллельны \(L_1\).
Тогда каждая из \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) пересекает \(L_2\) в одной точке. Они не пересекают \(L_1\).
Общее количество точек пересечения будет:
1 (от \(L_1\) и \(L_2\)) + 1 (от \(M_1\) с \(L_2\)) + 1 (от \(M_2\) с \(L_2\)) + 1 (от \(M_3\) с \(L_2\)) = 4 точки.
Это еще один возможный ответ.
Вариант 9: Две из параллельных прямых параллельны одной из первых двух прямых, а третья параллельна другой.
Пусть \(M_1\), \(M_2\) параллельны \(L_1\). Они пересекают \(L_2\) в двух разных точках.
Пусть \(M_3\) параллельна \(L_2\). Она пересекает \(L_1\) в одной точке.
Общее количество точек пересечения будет:
1 (от \(L_1\) и \(L_2\)) + 1 (от \(M_1\) с \(L_2\)) + 1 (от \(M_2\) с \(L_2\)) + 1 (от \(M_3\) с \(L_1\)) = 4 точки.
Это также 4 точки, как в Варианте 8.
Вариант 10: Все три параллельные прямые параллельны одной из первых двух прямых, и одна из них проходит через точку пересечения первых двух прямых.
Это невозможно, так как если прямая параллельна \(L_1\) и проходит через точку пересечения \(L_1\) и \(L_2\), то она должна совпадать с \(L_1\), что противоречит тому, что она параллельна \(L_1\) (если только не считать, что прямая параллельна самой себе, но тогда она не будет "новой" прямой).
Итог по возможным количествам точек пересечения:
- 7 точек: Когда все 3 параллельные прямые пересекают обе первые прямые, и ни одна из них не проходит через точку пересечения первых двух прямых.
- 5 точек: Когда одна из параллельных прямых проходит через точку пересечения первых двух прямых, а остальные две пересекают обе первые прямые. Или когда одна из параллельных прямых параллельна одной из первых двух, а другая параллельна другой, и третья пересекает обе.
- 4 точки: Когда все 3 параллельные прямые параллельны одной из первых двух прямых.
Таким образом, возможные количества точек пересечения: 4, 5, 7.
Ответы из предложенных вариантов:
- 5
- 3 (невозможно)
- 7
- 4
- 6 (невозможно)
Правильные ответы: 5, 7, 4.