3. Решите уравнение:
а) \(2x^2 - 18 = 0\)
Решение:
Перенесем число 18 в правую часть уравнения:
\(2x^2 = 18\)
Разделим обе части уравнения на 2:
\(x^2 = \frac{18}{2}\)
\(x^2 = 9\)
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
\(x = \pm\sqrt{9}\)
\(x_1 = 3\)
\(x_2 = -3\)
Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\).
б) \(3x^2 - 12x = 0\)
Решение:
Вынесем общий множитель \(3x\) за скобки:
\(3x(x - 4) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Значит, либо \(3x = 0\), либо \(x - 4 = 0\).
Из \(3x = 0\) получаем \(x_1 = 0\).
Из \(x - 4 = 0\) получаем \(x_2 = 4\).
Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 4\).
в) \(2,7x^2 = 0\)
Решение:
Разделим обе части уравнения на 2,7:
\(x^2 = \frac{0}{2,7}\)
\(x^2 = 0\)
Извлечем квадратный корень:
\(x = 0\)
Ответ: \(x = 0\).
г) \(6x^2 - 18 = 0\)
Решение:
Перенесем число 18 в правую часть уравнения:
\(6x^2 = 18\)
Разделим обе части уравнения на 6:
\(x^2 = \frac{18}{6}\)
\(x^2 = 3\)
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
\(x = \pm\sqrt{3}\)
\(x_1 = \sqrt{3}\)
\(x_2 = -\sqrt{3}\)
Ответ: \(x_1 = \sqrt{3}\), \(x_2 = -\sqrt{3}\).
д) \(6x^2 - 3x^2 = 0\)
Решение:
Приведем подобные слагаемые:
\(3x^2 = 0\)
Разделим обе части уравнения на 3:
\(x^2 = \frac{0}{3}\)
\(x^2 = 0\)
Извлечем квадратный корень:
\(x = 0\)
Ответ: \(x = 0\).
е) \(x^2 - 5x = 0\)
Решение:
Вынесем общий множитель \(x\) за скобки:
\(x(x - 5) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Значит, либо \(x = 0\), либо \(x - 5 = 0\).
Из \(x = 0\) получаем \(x_1 = 0\).
Из \(x - 5 = 0\) получаем \(x_2 = 5\).
Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 5\).
ж) \(\frac{3}{7}x^2 = 0\)
Решение:
Умножим обе части уравнения на \(\frac{7}{3}\):
\(x^2 = 0 \cdot \frac{7}{3}\)
\(x^2 = 0\)
Извлечем квадратный корень:
\(x = 0\)
Ответ: \(x = 0\).
з) \(4x^2 + 36 = 0\)
Решение:
Перенесем число 36 в правую часть уравнения:
\(4x^2 = -36\)
Разделим обе части уравнения на 4:
\(x^2 = \frac{-36}{4}\)
\(x^2 = -9\)
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Значит, у этого уравнения нет действительных корней.
Ответ: Нет действительных корней.
и) \(12 + 4x^2 = 0\)
Решение:
Перенесем число 12 в правую часть уравнения:
\(4x^2 = -12\)
Разделим обе части уравнения на 4:
\(x^2 = \frac{-12}{4}\)
\(x^2 = -3\)
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Значит, у этого уравнения нет действительных корней.
Ответ: Нет действительных корней.
к) \(\frac{1}{6}x^2 - 5 = 0\)
Решение:
Перенесем число 5 в правую часть уравнения:
\(\frac{1}{6}x^2 = 5\)
Умножим обе части уравнения на 6:
\(x^2 = 5 \cdot 6\)
\(x^2 = 30\)
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
\(x = \pm\sqrt{30}\)
\(x_1 = \sqrt{30}\)
\(x_2 = -\sqrt{30}\)
Ответ: \(x_1 = \sqrt{30}\), \(x_2 = -\sqrt{30}\).
л) \(x^2 + 16 = 0\)
Решение:
Перенесем число 16 в правую часть уравнения:
\(x^2 = -16\)
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Значит, у этого уравнения нет действительных корней.
Ответ: Нет действительных корней.
м) \(3,6x^2 = 0\)
Решение:
Разделим обе части уравнения на 3,6:
\(x^2 = \frac{0}{3,6}\)
\(x^2 = 0\)
Извлечем квадратный корень:
\(x = 0\)
Ответ: \(x = 0\).
4. Решите уравнение и сделайте проверку:
а) \(2y^2 - 1 = 0\)
Решение:
Перенесем число 1 в правую часть уравнения:
\(2y^2 = 1\)
Разделим обе части уравнения на 2:
\(y^2 = \frac{1}{2}\)
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
\(y = \pm\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(y = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
\(y = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(y_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(y_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Проверка:
Для \(y_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\(2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{2}{4} - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0\)
Для \(y_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\):
\(2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{2}{4} - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0\)
Ответ: \(y_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(y_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
б) \(-y^2 + 2 = 0\)
Решение:
Перенесем число 2 в правую часть уравнения:
\(-y^2 = -2\)
Умножим обе части уравнения на -1:
\(y^2 = 2\)
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
\(y = \pm\sqrt{2}\)
\(y_1 = \sqrt{2}\)
\(y_2 = -\sqrt{2}\)
Проверка:
Для \(y_1 = \sqrt{2}\):
\(-(\sqrt{2})^2 + 2 = -2 + 2 = 0\)
Для \(y_2 = -\sqrt{2}\):
\(-(-\sqrt{2})^2 + 2 = -2 + 2 = 0\)
Ответ: \(y_1 = \sqrt{2}\), \(y_2 = -\sqrt{2}\).
в) \(9 - 16y^2 = 0\)
Решение:
Перенесем число 9 в правую часть уравнения:
\(-16y^2 = -9\)
Разделим обе части уравнения на -16:
\(y^2 = \frac{-9}{-16}\)
\(y^2 = \frac{9}{16}\)
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
\(y = \pm\sqrt{\frac{9}{16}}\)
\(y = \pm\frac{3}{4}\)
\(y_1 = \frac{3}{4}\)
\(y_2 = -\frac{3}{4}\)
Проверка:
Для \(y_1 = \frac{3}{4}\):
\(9 - 16\left(\frac{3}{4}\right)^2 = 9 - 16 \cdot \frac{9}{16} = 9 - 9 = 0\)
Для \(y_2 = -\frac{3}{4}\):
\(9 - 16\left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 9 - 16 \cdot \frac{9}{16} = 9 - 9 = 0\)
Ответ: \(y_1 = \frac{3}{4}\), \(y_2 = -\frac{3}{4}\).
г) \(4y - y^2 = 0\)
Решение:
Вынесем общий множитель \(y\) за скобки:
\(y(4 - y) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Значит, либо \(y = 0\), либо \(4 - y = 0\).
Из \(y = 0\) получаем \(y_1 = 0\).
Из \(4 - y = 0\) получаем \(y_2 = 4\).
Проверка:
Для \(y_1 = 0\):
\(4(0) - (0)^2 = 0 - 0 = 0\)
Для \(y_2 = 4\):
\(4(4) - (4)^2 = 16 - 16 = 0\)
Ответ: \(y_1 = 0\), \(y_2 = 4\).
д) \(7y^2 + y = 0\)
Решение:
Вынесем общий множитель \(y\) за скобки:
\(y(7y + 1) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Значит, либо \(y = 0\), либо \(7y + 1 = 0\).
Из \(y = 0\) получаем \(y_1 = 0\).
Из \(7y + 1 = 0\) получаем \(7y = -1\), откуда \(y_2 = -\frac{1}{7}\).
Проверка:
Для \(y_1 = 0\):
\(7(0)^2 + 0 = 0 + 0 = 0\)
Для \(y_2 = -\frac{1}{7}\):
\(7\left(-\frac{1}{7}\right)^2 + \left(-\frac{1}{7}\right) = 7 \cdot \frac{1}{49} - \frac{1}{7} = \frac{1}{7} - \frac{1}{7} = 0\)
Ответ: \(y_1 = 0\), \(y_2 = -\frac{1}{7}\).
е) \(0,2y^2 - y = 0\)
Решение:
Вынесем общий множитель \(y\) за скобки:
\(y(0,2y - 1) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Значит, либо \(y = 0\), либо \(0,2y - 1 = 0\).
Из \(y = 0\) получаем \(y_1 = 0\).
Из \(0,2y - 1 = 0\) получаем \(0,2y = 1\), откуда \(y_2 = \frac{1}{0,2} = 5\).
Проверка:
Для \(y_1 = 0\):
\(0,2(0)^2 - 0 = 0 - 0 = 0\)
Для \(y_2 = 5\):
\(0,2(5)^2 - 5 = 0,2 \cdot 25 - 5 = 5 - 5 = 0\)
Ответ: \(y_1 = 0\), \(y_2 = 5\).