Задача:
На рисунке схема дорог некоторого района изображена в виде графа. В таблице содержатся сведения о длинах этих дорог (в километрах).
Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, то нумерация населённых пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе. Определите, какова длина дороги из пункта А в пункт В. В ответе запишите целое число – так, как оно указано в таблице.
Решение:
Для решения этой задачи нам нужно сопоставить буквенные обозначения пунктов на схеме с числовыми обозначениями в таблице. Мы будем искать пункты с уникальным количеством дорог или уникальными длинами дорог, чтобы однозначно их определить.
1. Анализируем граф (схему):
- Пункт А соединён с 2 другими пунктами (Б, Г).
- Пункт Б соединён с 3 другими пунктами (А, В, К).
- Пункт В соединён с 4 другими пунктами (Б, Г, Д, Е).
- Пункт Г соединён с 3 другими пунктами (А, В, Д).
- Пункт Д соединён с 2 другими пунктами (Г, В).
- Пункт Е соединён с 2 другими пунктами (В, К).
- Пункт К соединён с 2 другими пунктами (Б, Е).
Запишем количество связей для каждого пункта:
- А: 2 связи
- Б: 3 связи
- В: 4 связи
- Г: 3 связи
- Д: 2 связи
- Е: 2 связи
- К: 2 связи
Мы видим, что пункт В является единственным пунктом с 4 связями. Пункты Б и Г имеют по 3 связи. Пункты А, Д, Е, К имеют по 2 связи.
2. Анализируем таблицу:
Таблица показывает длины дорог между пунктами. Отсутствие числа означает отсутствие прямой дороги. Посчитаем количество дорог, исходящих из каждого пункта (количество заполненных ячеек в строке или столбце, исключая диагональ):
- П1: 3 дороги (П2, П6, П7)
- П2: 3 дороги (П1, П3, П5)
- П3: 4 дороги (П2, П4, П5, П6)
- П4: 2 дороги (П3, П5)
- П5: 4 дороги (П2, П3, П4, П7)
- П6: 3 дороги (П1, П3, П7)
- П7: 3 дороги (П1, П5, П6)
Запишем количество связей для каждого пункта из таблицы:
- П1: 3 связи
- П2: 3 связи
- П3: 4 связи
- П4: 2 связи
- П5: 4 связи
- П6: 3 связи
- П7: 3 связи
Мы видим, что пункты П3 и П5 являются единственными пунктами с 4 связями. Это означает, что В на схеме соответствует либо П3, либо П5.
3. Сопоставляем пункты:
Нам нужно найти длину дороги из пункта А в пункт В. Пункт В имеет 4 связи. На схеме это единственный такой пункт. В таблице это П3 или П5.
Рассмотрим пункты с 2 связями на схеме: А, Д, Е, К. Рассмотрим пункты с 2 связями в таблице: П4.
Это означает, что П4 соответствует одному из пунктов А, Д, Е, К.
Давайте попробуем определить пункт В. Пункт В на схеме соединён с Б, Г, Д, Е. Пункт П3 в таблице соединён с П2, П4, П5, П6. Пункт П5 в таблице соединён с П2, П3, П4, П7.
Рассмотрим пункт П4. Он имеет 2 связи: с П3 и П5. На схеме есть 4 пункта с 2 связями: А, Д, Е, К. Из них: Д соединён с Г и В. Е соединён с В и К. К соединён с Б и Е. А соединён с Б и Г.
Заметим, что П4 соединён с обоими пунктами, имеющими 4 связи (П3 и П5). На схеме, пункт Д соединён с В (4 связи) и Г (3 связи). Пункт Е соединён с В (4 связи) и К (2 связи). Пункт К соединён с Б (3 связи) и Е (2 связи). Пункт А соединён с Б (3 связи) и Г (3 связи).
Ни один из пунктов А, Д, Е, К на схеме не соединён с двумя пунктами, имеющими 4 связи. Это означает, что в нашем анализе количества связей есть ошибка или неточность. Давайте перепроверим.
Пересчитаем связи в таблице более внимательно, учитывая, что таблица симметрична относительно главной диагонали (если дорога есть из X в Y, то есть и из Y в X, и длина одинакова).
- П1: 10 (П2), 15 (П6), 40 (П7), 45 (П7) - здесь ошибка в таблице, 40 и 45 не могут быть одновременно. Предположим, что это 10 (П2), 15 (П6), 40 (П7). Тогда 3 связи.
- П2: 10 (П1), 25 (П3), 30 (П5). 3 связи.
- П3: 25 (П2), 10 (П4), 20 (П5), 60 (П6), 65 (П6) - снова ошибка. Предположим 25 (П2), 10 (П4), 20 (П5), 60 (П6). Тогда 4 связи.
- П4: 10 (П3), 60 (П5), 65 (П5) - снова ошибка. Предположим 10 (П3), 60 (П5). Тогда 2 связи.
- П5: 30 (П2), 20 (П3), 60 (П4), 50 (П7). 4 связи.
- П6: 15 (П1), 60 (П3), 30 (П7). 3 связи.
- П7: 40 (П1), 45 (П1), 50 (П5), 55 (П6). Здесь 40 и 45 для П1. Предположим 40 (П1), 50 (П5), 55 (П6). Тогда 3 связи.
Давайте использовать данные из таблицы, как они есть, и считать количество заполненных ячеек в строке (или столбце) для каждого пункта. Если есть несколько значений в одной ячейке, это, скорее всего, опечатка в задании, но мы будем считать, что это одна дорога.
- П1: 3 дороги (к П2, П6, П7)
- П2: 3 дороги (к П1, П3, П5)
- П3: 4 дороги (к П2, П4, П5, П6)
- П4: 2 дороги (к П3, П5)
- П5: 4 дороги (к П2, П3, П4, П7)
- П6: 3 дороги (к П1, П3, П7)
- П7: 3 дороги (к П1, П5, П6)
Итак, количество связей:
- П1: 3
- П2: 3
- П3: 4
- П4: 2
- П5: 4
- П6: 3
- П7: 3
Схема:
- А: 2
- Б: 3
- В: 4
- Г: 3
- Д: 2
- Е: 2
- К: 2
Сопоставляем:
- Пункт В (4 связи) соответствует либо П3, либо П5 (по 4 связи).
- Пункты Б, Г (по 3 связи) соответствуют П1, П2, П6, П7 (по 3 связи).
- Пункты А, Д, Е, К (по 2 связи) соответствуют П4 (2 связи).
Это означает, что П4 на схеме соответствует одному из А, Д, Е, К. Но в таблице только один пункт с 2 связями (П4), а на схеме их четыре. Это указывает на то, что таблица неполная или содержит ошибки, или же мы должны искать уникальные характеристики.
Давайте попробуем другой подход: искать уникальные длины дорог.
Рассмотрим пункт В (4 связи). Он соединён с Б, Г, Д, Е.
Рассмотрим пункт П3 (4 связи). Он соединён с П2, П4, П5, П6. Длины дорог: 25, 10, 20, 60.
Рассмотрим пункт П5 (4 связи). Он соединён с П2, П3, П4, П7. Длины дорог: 30, 20, 60, 50.
Теперь посмотрим на пункты с 2 связями на схеме: А, Д, Е, К.
- А соединён с Б и Г.
- Д соединён с Г и В.
- Е соединён с В и К.
- К соединён с Б и Е.
Пункт П4 имеет 2 связи: с П3 (длина 10) и П5 (длина 60). Это означает, что П4 соединён с обоими пунктами, имеющими 4 связи (П3 и П5).
На схеме, какой из пунктов А, Д, Е, К соединён с обоими пунктами, имеющими 4 связи? Пункт В - единственный с 4 связями. Значит, ни один из А, Д, Е, К не может быть соединён с двумя пунктами, имеющими 4 связи, потому что на схеме такой пункт только один (В).
Это означает, что либо я неправильно интерпретирую таблицу, либо в задании есть неточность, которая делает прямое сопоставление по количеству связей затруднительным. Давайте перечитаем условие: "Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, то нумерация населённых пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе."
Возможно, нужно искать уникальные наборы длин дорог.
Давайте предположим, что пункт В на схеме соответствует П3 в таблице. Тогда В соединён с П2, П4, П5, П6. Длины: 25, 10, 20, 60.
Если В соответствует П5 в таблице. Тогда В соединён с П2, П3, П4, П7. Длины: 30, 20, 60, 50.
Нам нужно найти дорогу А-В.
Давайте попробуем найти пункт А. Пункт А имеет 2 связи, и он соединён с Б и Г (оба имеют 3 связи).
В таблице есть только один пункт с 2 связями: П4. Он соединён с П3 и П5. П3 имеет 4 связи. П5 имеет 4 связи. Но на схеме пункт А соединён с двумя пунктами, имеющими по 3 связи (Б и Г).
Это явное противоречие между количеством связей в таблице и на схеме для пунктов с 2 связями. Пункт П4 (2 связи) соединён с двумя пунктами с 4 связями (П3 и П5). На схеме, ни один из пунктов А, Д, Е, К (2 связи) не соединён с двумя пунктами с 4 связями, потому что на схеме только один пункт с 4 связями (В).
Это означает, что либо я неправильно считаю связи, либо в таблице есть дублирующиеся значения, которые нужно интерпретировать как одну дорогу, либо в задании есть ошибка.
Давайте пересчитаем связи, считая каждую заполненную ячейку как одну дорогу, даже если там несколько чисел. П1: 3 (П2, П6, П7) П2: 3 (П1, П3, П5) П3: 4 (П2, П4, П5, П6) П4: 2 (П3, П5) П5: 4 (П2, П3, П4, П7) П6: 3 (П1, П3, П7) П7: 3 (П1, П5, П6)
Количество связей в таблице: (3, 3, 4, 2, 4, 3, 3)
Количество связей на схеме: (А:2, Б:3, В:4, Г:3, Д:2, Е:2, К:2)
Теперь сопоставим:
- Пункт В (4 связи на схеме) соответствует либо П3, либо П5 (4 связи в таблице).
- Пункты Б, Г (3 связи на схеме) соответствуют П1, П2, П6, П7 (3 связи в таблице).
- Пункты А, Д, Е, К (2 связи на схеме) соответствуют П4 (2 связи в таблице).
Проблема остаётся: на схеме 4 пункта с 2 связями, а в таблице только 1 пункт с 2 связями (П4). Это означает, что таблица не соответствует схеме по количеству пунктов с определённым числом связей.
Возможно, нужно искать уникальные наборы длин дорог, а не только количество связей.
Давайте посмотрим на пункт В (4 связи). Он соединён с Б, Г, Д, Е. Длины дорог из В: (В-Б), (В-Г), (В-Д), (В-Е).
Рассмотрим П3 (4 связи). Длины дорог: 25 (П2), 10 (П4), 20 (П5), 60 (П6). Рассмотрим П5 (4 связи). Длины дорог: 30 (П2), 20 (П3), 60 (П4), 50 (П7).
Теперь посмотрим на пункт А (2 связи). Он соединён с Б и Г. Б имеет 3 связи (А, В, К). Г имеет 3 связи (А, В, Д).
Нам нужно найти дорогу А-В.
Давайте попробуем найти пункт, который соединён с пунктом с 4 связями и двумя пунктами с 3 связями. На схеме: Пункт Б (3 связи) соединён с А (2 связи), В (4 связи), К (2 связи). Пункт Г (3 связи) соединён с А (2 связи), В (4 связи), Д (2 связи).
Итак, Б и Г имеют одинаковую структуру связей