Решение задачи про вольтметры и измерение напряжения

Хорошо, давайте решим эти задачи. Задача 4. 1. К вольтметру, сопротивление которого \(R_в = 30\) кОм, подключен резистор с сопротивлением \(R_д = 90\) кОм. При этом верхний предел измерения без добавочного резистора \(R_д\) составляет \(600\) В. Определите, какое напряжение \(U = 9,5\) В можно измерять прибором, если используются два вольтметра: класса точности \(1,0\), имеющий верхний предел измерения \(50\) В; и вольтметром наибольшая относительная погрешность \(10\) В. Определите, при измерении каким вольтметром напряжение меньше и во сколько раз. 2. Для измерения напряжения \(U = 9,5\) В используются два вольтметра: класса точности \(1,5\), имеющий предел измерения \(50\) В; и вольтметром наибольшая относительная погрешность \(10\) В. Определите, при измерении каким вольтметром напряжение меньше и во сколько раз. 3. Определите показание выпрямительного миллиамперметра, имеющего двухполупериодную схему выпрямления и ток, изображенной на рис. 1.4. Погрешность прибора пренебречь. Решение задачи 4. Пункт 1. Дано: Сопротивление вольтметра \(R_в = 30\) кОм \( = 30 \cdot 10^3\) Ом. Сопротивление добавочного резистора \(R_д = 90\) кОм \( = 90 \cdot 10^3\) Ом. Верхний предел измерения без добавочного резистора \(U_{max0} = 600\) В. Измеряемое напряжение \(U = 9,5\) В. Сначала определим чувствительность вольтметра. Чувствительность вольтметра \(S_в\) определяется как отношение его сопротивления к верхнему пределу измерения: \[S_в = \frac{R_в}{U_{max0}}\] \[S_в = \frac{30 \cdot 10^3 \text{ Ом}}{600 \text{ В}} = 50 \frac{\text{Ом}}{\text{В}}\] Теперь определим верхний предел измерения вольтметра с добавочным резистором. Общее сопротивление цепи с добавочным резистором: \[R_{общ} = R_в + R_д\] \[R_{общ} = 30 \cdot 10^3 \text{ Ом} + 90 \cdot 10^3 \text{ Ом} = 120 \cdot 10^3 \text{ Ом}\] Верхний предел измерения с добавочным резистором \(U_{max}\) будет: \[U_{max} = S_в \cdot R_{общ}\] \[U_{max} = 50 \frac{\text{Ом}}{\text{В}} \cdot 120 \cdot 10^3 \text{ Ом} = 6000 \text{ В}\] Таким образом, с добавочным резистором можно измерять напряжение до \(6000\) В. Измеряемое напряжение \(U = 9,5\) В находится в этом диапазоне. Теперь рассмотрим два вольтметра для измерения \(U = 9,5\) В. Вольтметр 1: Класс точности \(K_1 = 1,0\). Верхний предел измерения \(U_{пр1} = 50\) В. Абсолютная погрешность вольтметра 1: \[\Delta U_1 = \frac{K_1 \cdot U_{пр1}}{100\%}\] \[\Delta U_1 = \frac{1,0 \cdot 50 \text{ В}}{100} = 0,5 \text{ В}\] Относительная погрешность вольтметра 1 при измерении \(U = 9,5\) В: \[\delta_1 = \frac{\Delta U_1}{U} \cdot 100\%\] \[\delta_1 = \frac{0,5 \text{ В}}{9,5 \text{ В}} \cdot 100\% \approx 5,26\%\] Вольтметр 2: Наибольшая относительная погрешность \(\delta_{max2} = 10\%\). Это означает, что относительная погрешность этого вольтметра при любом измерении не превышает \(10\%\). Для измерения \(U = 9,5\) В, относительная погрешность \(\delta_2 = 10\%\). Сравнение относительных погрешностей: \(\delta_1 \approx 5,26\%\) \(\delta_2 = 10\%\) Вольтметр 1 имеет меньшую относительную погрешность. Отношение погрешностей: \[\frac{\delta_2}{\delta_1} = \frac{10\%}{5,26\%} \approx 1,9\] Таким образом, при измерении вольтметром 1 напряжение измеряется с погрешностью примерно в \(1,9\) раза меньшей, чем вольтметром 2. Пункт 2. Этот пункт повторяет условия пункта 1, но с другим классом точности для первого вольтметра. Вольтметр 1: Класс точности \(K_1 = 1,5\). Верхний предел измерения \(U_{пр1} = 50\) В. Абсолютная погрешность вольтметра 1: \[\Delta U_1 = \frac{K_1 \cdot U_{пр1}}{100\%}\] \[\Delta U_1 = \frac{1,5 \cdot 50 \text{ В}}{100} = 0,75 \text{ В}\] Относительная погрешность вольтметра 1 при измерении \(U = 9,5\) В: \[\delta_1 = \frac{\Delta U_1}{U} \cdot 100\%\] \[\delta_1 = \frac{0,75 \text{ В}}{9,5 \text{ В}} \cdot 100\% \approx 7,89\%\] Вольтметр 2: Наибольшая относительная погрешность \(\delta_{max2} = 10\%\). Для измерения \(U = 9,5\) В, относительная погрешность \(\delta_2 = 10\%\). Сравнение относительных погрешностей: \(\delta_1 \approx 7,89\%\) \(\delta_2 = 10\%\) Вольтметр 1 по-прежнему имеет меньшую относительную погрешность. Отношение погрешностей: \[\frac{\delta_2}{\delta_1} = \frac{10\%}{7,89\%} \approx 1,27\] Таким образом, при измерении вольтметром 1 напряжение измеряется с погрешностью примерно в \(1,27\) раза меньшей, чем вольтметром 2. Пункт 3. Определите показание выпрямительного миллиамперметра, имеющего двухполупериодную схему выпрямления и ток, изображенной на рис. 1.4. Погрешность прибора пренебречь. На рис. 1.4 изображен график зависимости тока \(i\) от времени \(t\). Это импульсный ток. Для двухполупериодной схемы выпрямления, миллиамперметр измеряет среднее значение выпрямленного тока. График показывает, что ток имеет форму прямоугольных импульсов. В течение первых \(5\) мс ток равен \(8\) мА. В течение следующих \(5\) мс (от \(5\) до \(10\) мс) ток равен \(0\). В течение следующих \(5\) мс (от \(10\) до \(15\) мс) ток равен \(4\) мА. В течение следующих \(5\) мс (от \(15\) до \(20\) мс) ток равен \(0\). В течение следующих \(5\) мс (от \(20\) до \(25\) мс) ток равен \(4\) мА. Период повторения импульсов составляет \(25\) мс. Среднее значение тока \(I_{ср}\) за один период \(T\) определяется как: \[I_{ср} = \frac{1}{T} \int_0^T i(t) dt\] В данном случае, интеграл можно заменить суммой площадей прямоугольников, деленной на период. Период \(T = 25\) мс \( = 25 \cdot 10^{-3}\) с. Площадь под графиком за один период: \[S = (8 \text{ мА} \cdot 5 \text{ мс}) + (0 \text{ мА} \cdot 5 \text{ мс}) + (4 \text{ мА} \cdot 5 \text{ мс}) + (0 \text{ мА} \cdot 5 \text{ мс}) + (4 \text{ мА} \cdot 5 \text{ мс})\] \[S = (40 \text{ мА} \cdot \text{мс}) + (0) + (20 \text{ мА} \cdot \text{мс}) + (0) + (20 \text{ мА} \cdot \text{мс})\] \[S = 40 + 20 + 20 = 80 \text{ мА} \cdot \text{мс}\] Среднее значение тока: \[I_{ср} = \frac{S}{T} = \frac{80 \text{ мА} \cdot \text{мс}}{25 \text{ мс}}\] \[I_{ср} = 3,2 \text{ мА}\] Показание миллиамперметра будет \(3,2\) мА. Задача 5. 1. Вольтметр электромагнитной системы с верхним пределом измерения \(100\) В проградуирован для работы с трансформатором напряжения на сети, если стрелка указанного вольтметра, включенного через трансформатор напряжения с \(K_{UH} = 800/100\), остановилась на отметке \(300\) В. Погрешностью трансформатора пренебречь. 2. Определите относительную методическую погрешность измерения ЭДС источника по схеме на рис. 1.5, если сопротивление вольтметра \(R_в = 900\) Ом, внутреннее сопротивление источника \(R_и = 100\) Ом. Решение задачи 5. Пункт 1. Дано: Верхний предел измерения вольтметра \(U_{пр} = 100\) В. Коэффициент трансформации трансформатора напряжения \(K_{UH} = 800/100\). Показание вольтметра \(U_{показ} = 300\) В. Коэффициент трансформации \(K_{UH}\) показывает, во сколько раз напряжение на первичной обмотке трансформатора больше напряжения на вторичной обмотке. \[K_{UH} = \frac{U_1}{U_2}\] В данном случае, \(K_{UH} = \frac{800}{100} = 8\). Это означает, что напряжение на первичной обмотке в \(8\) раз больше, чем на вторичной. Вольтметр подключен к вторичной обмотке трансформатора. Показание вольтметра \(U_{показ} = 300\) В. Это значение, которое вольтметр показывает, но оно уже учитывает коэффициент трансформации, так как вольтметр "проградуирован для работы с трансформатором напряжения". Если бы вольтметр не был проградуирован, то напряжение на вторичной обмотке было бы \(300\) В, а на первичной \(300 \cdot 8 = 2400\) В. Однако, формулировка "проградуирован для работы с трансформатором напряжения" означает, что шкала вольтметра уже пересчитана с учетом \(K_{UH}\). Если стрелка остановилась на отметке \(300\) В, это и есть измеряемое напряжение на первичной обмотке. Таким образом, напряжение на сети составляет \(300\) В. Пункт 2. Дано: Сопротивление вольтметра \(R_в = 900\) Ом. Внутреннее сопротивление источника \(R_и = 100\) Ом. Методическая погрешность возникает из-за того, что вольтметр имеет конечное сопротивление и при подключении к источнику изменяет режим его работы. Вольтметр измеряет напряжение на своих клеммах, которое меньше ЭДС источника из-за падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника. ЭДС источника \(E\). Напряжение, которое измеряет вольтметр \(U_в\), равно напряжению на внешнем сопротивлении (сопротивлении вольтметра). По закону Ома для полной цепи: \[I = \frac{E}{R_и + R_в}\] Напряжение на вольтметре: \[U_в = I \cdot R_в = \frac{E}{R_и + R_в} \cdot R_в\] Относительная методическая погрешность \(\delta_м\) определяется как: \[\delta_м = \frac{U_в - E}{E} \cdot 100\%\] или \[\delta_м = \left(\frac{U_в}{E} - 1\right) \cdot 100\%\] Подставим выражение для \(U_в\): \[\delta_м = \left(\frac{\frac{E \cdot R_в}{R_и + R_в}}{E} - 1\right) \cdot 100\%\] \[\delta_м = \left(\frac{R_в}{R_и + R_в} - 1\right) \cdot 100\%\] \[\delta_м = \left(\frac{R_в - (R_и + R_в)}{R_и + R_в}\right) \cdot 100\%\] \[\delta_м = \left(\frac{-R_и}{R_и + R_в}\right) \cdot 100\%\] Подставим значения: \[\delta_м = \left(\frac{-100 \text{ Ом}}{100 \text{ Ом} + 900 \text{ Ом}}\right) \cdot 100\%\] \[\delta_м = \left(\frac{-100 \text{ Ом}}{1000 \text{ Ом}}\right) \cdot 100\%\] \[\delta_м = -0,1 \cdot 100\% = -10\%\] Отрицательный знак означает, что измеренное напряжение меньше истинного значения ЭДС. Относительная методическая погрешность измерения ЭДС источника составляет \(-10\%\). Надеюсь, это решение будет удобно для переписывания в тетрадь!