Решение задачи: Сколько инфузорий было изначально?

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Задача 14. Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после пятикратного деления их стало 800? Решение: Пусть \(N_0\) - первоначальное количество инфузорий. После каждого деления количество инфузорий удваивается. То есть, после 1-го деления их станет \(N_0 \cdot 2\). После 2-го деления их станет \(N_0 \cdot 2 \cdot 2 = N_0 \cdot 2^2\). После 3-го деления их станет \(N_0 \cdot 2^3\). После 5-го деления их станет \(N_0 \cdot 2^5\). По условию задачи, после пятикратного деления их стало 800. Значит, мы можем записать уравнение: \(N_0 \cdot 2^5 = 800\) Вычислим \(2^5\): \(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\) Подставим это значение в уравнение: \(N_0 \cdot 32 = 800\) Чтобы найти \(N_0\), разделим 800 на 32: \(N_0 = \frac{800}{32}\) Выполним деление: \(800 \div 32 = 25\) Итак, первоначально было 25 инфузорий. Ответ: 25 Задача 15. В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(45^\circ\), угол \(B\) равен \(60^\circ\), \(BC = 12\sqrt{6}\). Найдите \(AC\). Решение: Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно для всех сторон треугольника. То есть, для треугольника \(ABC\): \[\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\] Нам известны: Угол \(A = 45^\circ\) Угол \(B = 60^\circ\) Сторона \(BC = 12\sqrt{6}\) Нам нужно найти сторону \(AC\). Используем часть теоремы синусов: \[\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\] Подставим известные значения: \[\frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{12\sqrt{6}}{\sin 45^\circ}\] Вспомним значения синусов для этих углов: \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) Подставим эти значения в уравнение: \[\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\] Чтобы найти \(AC\), умножим обе части уравнения на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[AC = \frac{12\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[AC = \frac{12\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}\] Упростим выражение под корнями: \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{18}\) \[AC = \frac{12\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\] Разделим корни: \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3\) \[AC = 12 \cdot 3\] \[AC = 36\] Итак, длина стороны \(AC\) равна 36. Ответ: 36 Задача 16. Через точку \(A\), лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке \(K\). Другая прямая пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\), причём \(AB = 2,5\), \(AC = 10\). Найдите \(AK\). Решение: Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей. Теорема гласит, что если из точки вне окружности проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной от этой точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от этой точки до точек её пересечения с окружностью. В нашем случае: Точка \(A\) лежит вне окружности. \(AK\) - отрезок касательной. \(AC\) - отрезок секущей от точки \(A\) до дальней точки пересечения с окружностью. \(AB\) - отрезок секущей от точки \(A\) до ближней точки пересечения с окружностью. Согласно теореме: \[AK^2 = AB \cdot AC\] Нам известны: \(AB = 2,5\) \(AC = 10\) Подставим эти значения в формулу: \[AK^2 = 2,5 \cdot 10\] \[AK^2 = 25\] Чтобы найти \(AK\), извлечём квадратный корень из 25: \[AK = \sqrt{25}\] \[AK = 5\] Итак, длина отрезка \(AK\) равна 5. Ответ: 5 Задача 17. Диагонали \(AC\) и \(BD\) трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) пересекаются в точке \(O\), \(BC = 9\), \(AD = 16\), \(AC = 15\). Найдите \(CO\). Решение: Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Треугольники \(BOC\) и \(DOA\) подобны. Это следует из того, что \(BC\) параллельно \(AD\) (основания трапеции), поэтому: Угол \(CBO\) равен углу \(ADO\) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(BD\)). Угол \(BCO\) равен углу \(DAO\) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AC\)). Угол \(BOC\) равен углу \(DOA\) (как вертикальные углы). Из подобия треугольников \(BOC\) и \(DOA\) следует, что отношения соответствующих сторон равны. \[\frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD}\] Нам известны: \(BC = 9\) \(AD = 16\) \(AC = 15\) Нам нужно найти \(CO\). Из отношения подобия: \[\frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD}\] Подставим известные значения \(BC\) и \(AD\): \[\frac{CO}{AO} = \frac{9}{16}\] Мы знаем, что \(AC = AO + CO\). Пусть \(CO = x\). Тогда \(AO = AC - CO = 15 - x\). Подставим эти выражения в отношение: \[\frac{x}{15 - x} = \frac{9}{16}\] Теперь решим это уравнение для \(x\). Умножим крест-накрест: \(16x = 9(15 - x)\) Раскроем скобки: \(16x = 9 \cdot 15 - 9x\) \(16x = 135 - 9x\) Перенесём \(9x\) в левую часть уравнения: \(16x + 9x = 135\) \(25x = 135\) Разделим 135 на 25, чтобы найти \(x\): \(x = \frac{135}{25}\) \(x = \frac{27 \cdot 5}{5 \cdot 5}\) \(x = \frac{27}{5}\) \(x = 5,4\) Итак, длина отрезка \(CO\) равна 5,4. Ответ: 5,4 Задача 18. На клетчатой бумаге с размером клетки \(1 \times 1\) изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали. Решение: Для решения этой задачи нужно внимательно рассмотреть изображение ромба на клетчатой бумаге и посчитать длину его диагоналей по клеткам. Ромб имеет две диагонали. Одна диагональ соединяет две вершины, расположенные по горизонтали, а другая - две вершины, расположенные по вертикали. Посчитаем длину горизонтальной диагонали: Отсчитаем количество клеток по горизонтали между крайними вершинами ромба. На рисунке видно, что горизонтальная диагональ проходит через 8 клеток. Значит, длина горизонтальной диагонали равна 8. Посчитаем длину вертикальной диагонали: Отсчитаем количество клеток по вертикали между крайними вершинами ромба. На рисунке видно, что вертикальная диагональ проходит через 4 клетки. Значит, длина вертикальной диагонали равна 4. Сравним длины диагоналей: 8 и 4. Большая диагональ имеет длину 8. Ответ: 8