Решение уравнения с квадратным корнем: √2x-3 = x² - 3x - 1

Решим уравнение: \[ \sqrt{2x-3} = x^2 - 3x - 1 \] Для начала, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной \(x\). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \[ 2x - 3 \ge 0 \] \[ 2x \ge 3 \] \[ x \ge \frac{3}{2} \] \[ x \ge 1.5 \] Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ (\sqrt{2x-3})^2 = (x^2 - 3x - 1)^2 \] \[ 2x - 3 = (x^2 - 3x - 1)^2 \] Это уравнение выглядит довольно сложным для прямого решения. Давайте попробуем найти целые корни, если они есть, или использовать графический метод, если это возможно. Однако, для школьника, скорее всего, предполагается более простой путь. Давайте перепишем уравнение в виде: \[ \sqrt{2x-3} = x^2 - 3x - 1 \] Заметим, что правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна квадратному корню, который по определению неотрицателен. \[ x^2 - 3x - 1 \ge 0 \] Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 3x - 1 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2} \] Приближенные значения корней: \[ x_1 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{3 - 3.6}{2} = \frac{-0.6}{2} = -0.3 \] \[ x_2 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{3 + 3.6}{2} = \frac{6.6}{2} = 3.3 \] Так как парабола \(y = x^2 - 3x - 1\) направлена ветвями вверх, то \(x^2 - 3x - 1 \ge 0\) при \(x \le \frac{3 - \sqrt{13}}{2}\) или \(x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2}\). Учитывая ОДЗ \(x \ge 1.5\), мы должны иметь \(x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2}\). Приближенно \(x \ge 3.3\). Давайте попробуем подставить некоторые значения \(x\), которые удовлетворяют условию \(x \ge 3.3\). Например, если \(x=4\): Левая часть: \( \sqrt{2 \cdot 4 - 3} = \sqrt{8 - 3} = \sqrt{5} \) Правая часть: \( 4^2 - 3 \cdot 4 - 1 = 16 - 12 - 1 = 3 \) \( \sqrt{5} \approx 2.236 \), а \(3\). \(2.236 \ne 3\), значит \(x=4\) не является решением. Возможно, в задаче есть опечатка, или предполагается, что это уравнение решается графически или с использованием более продвинутых методов. Однако, если это задача для школьника, обычно предполагается, что корни будут целыми или рациональными. Давайте еще раз внимательно посмотрим на уравнение: \[ \sqrt{2x-3} = x^2 - 3x - 1 \] Предположим, что существует целое решение. Если \(x=2\), то \(x \ge 1.5\) выполняется. Левая часть: \( \sqrt{2 \cdot 2 - 3} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1 \) Правая часть: \( 2^2 - 3 \cdot 2 - 1 = 4 - 6 - 1 = -3 \) \(1 \ne -3\). \(x=2\) не является решением. Если \(x=3\), то \(x \ge 1.5\) выполняется. Левая часть: \( \sqrt{2 \cdot 3 - 3} = \sqrt{6 - 3} = \sqrt{3} \) Правая часть: \( 3^2 - 3 \cdot 3 - 1 = 9 - 9 - 1 = -1 \) \( \sqrt{3} \ne -1\). \(x=3\) не является решением. Если \(x=4\), мы уже проверили, не является решением. Давайте попробуем преобразовать правую часть, чтобы она была похожа на левую. Заметим, что \(x^2 - 3x - 1 = x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} - 1 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}\). Тогда уравнение примет вид: \[ \sqrt{2x-3} = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4} \] Пусть \(y = \sqrt{2x-3}\). Тогда \(y^2 = 2x-3\). Отсюда \(2x = y^2+3\), или \(x = \frac{y^2+3}{2}\). Подставим это в правую часть: \[ x - \frac{3}{2} = \frac{y^2+3}{2} - \frac{3}{2} = \frac{y^2}{2} \] Тогда уравнение становится: \[ y = \left(\frac{y^2}{2}\right)^2 - \frac{13}{4} \] \[ y = \frac{y^4}{4} - \frac{13}{4} \] \[ 4y = y^4 - 13 \] \[ y^4 - 4y - 13 = 0 \] Мы знаем, что \(y = \sqrt{2x-3}\), поэтому \(y \ge 0\). Это уравнение четвертой степени. Найти его корни аналитически довольно сложно для школьника. Давайте попробуем найти целые или рациональные корни для \(y\). Если \(y=1\), \(1 - 4 - 13 = -16 \ne 0\). Если \(y=2\), \(16 - 8 - 13 = -5 \ne 0\). Если \(y=3\), \(81 - 12 - 13 = 56 \ne 0\). Это указывает на то, что, возможно, нет простых целых или рациональных решений. Если задача дана в таком виде, то, скорее всего, предполагается, что есть какое-то "красивое" решение, которое мы пока не видим, или же это уравнение, которое решается численными методами или графически. Давайте еще раз проверим условие \(x^2 - 3x - 1 \ge 0\). Мы нашли, что \(x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.3\). Если \(x=4\), \(x^2 - 3x - 1 = 16 - 12 - 1 = 3\). \( \sqrt{2x-3} = \sqrt{2 \cdot 4 - 3} = \sqrt{5} \approx 2.236\). \(2.236 \ne 3\). Если \(x=5\): Левая часть: \( \sqrt{2 \cdot 5 - 3} = \sqrt{10 - 3} = \sqrt{7} \approx 2.646 \) Правая часть: \( 5^2 - 3 \cdot 5 - 1 = 25 - 15 - 1 = 9 \) \(2.646 \ne 9\). Если \(x=6\): Левая часть: \( \sqrt{2 \cdot 6 - 3} = \sqrt{12 - 3} = \sqrt{9} = 3 \) Правая часть: \( 6^2 - 3 \cdot 6 - 1 = 36 - 18 - 1 = 17 \) \(3 \ne 17\). Похоже, что правая часть растет гораздо быстрее, чем левая. Рассмотрим функции \(f(x) = \sqrt{2x-3}\) и \(g(x) = x^2 - 3x - 1\). Нам нужно найти точки пересечения этих функций. Давайте попробуем найти, при каком \(x\) \(x^2 - 3x - 1\) будет равно \( \sqrt{2x-3} \). Если бы \(x^2 - 3x - 1\) было равно 1, то \(x^2 - 3x - 2 = 0\). \(D = 9 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17\). \(x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\). \(x \approx \frac{3 \pm 4.12}{2}\). \(x_1 \approx \frac{-1.12}{2} = -0.56\). \(x_2 \approx \frac{7.12}{2} = 3.56\). Если \(x = 3.56\), то \(x^2 - 3x - 1 = 1\). Тогда \( \sqrt{2x-3} = \sqrt{2 \cdot 3.56 - 3} = \sqrt{7.12 - 3} = \sqrt{4.12} \approx 2.03\). \(1 \ne 2.03\). Если бы \(x^2 - 3x - 1\) было равно 2, то \(x^2 - 3x - 3 = 0\). \(D = 9 - 4(1)(-3) = 9 + 12 = 21\). \(x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}\). \(x \approx \frac{3 \pm 4.58}{2}\). \(x_1 \approx \frac{-1.58}{2} = -0.79\). \(x_2 \approx \frac{7.58}{2} = 3.79\). Если \(x = 3.79\), то \(x^2 - 3x - 1 = 2\). Тогда \( \sqrt{2x-3} = \sqrt{2 \cdot 3.79 - 3} = \sqrt{7.58 - 3} = \sqrt{4.58} \approx 2.14\). \(2 \ne 2.14\). Если бы \(x^2 - 3x - 1\) было равно 3, то \(x^2 - 3x - 4 = 0\). \((x-4)(x+1) = 0\). \(x=4\) или \(x=-1\). Мы уже проверили \(x=4\). При \(x=4\), \(x^2 - 3x - 1 = 3\). А \( \sqrt{2x-3} = \sqrt{2 \cdot 4 - 3} = \sqrt{5} \approx 2.236\). \(3 \ne 2.236\). Это уравнение не имеет простых целых или рациональных решений. Если это задача для школьника, то, возможно, есть ошибка в условии или предполагается, что решение будет найдено графически или с использованием калькулятора. Без дополнительных указаний или контекста, найти точное аналитическое решение этого уравнения четвертой степени \(y^4 - 4y - 13 = 0\) (где \(y = \sqrt{2x-3}\)) является сложной задачей, выходящей за рамки обычной школьной программы. Если бы это было уравнение, которое можно решить в школе, то, скорее всего, после возведения в квадрат, получилось бы что-то, что можно было бы разложить на множители или решить как квадратное уравнение. Например, если бы уравнение было \( \sqrt{2x-3} = x-2 \). ОДЗ: \(2x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1.5\). Также \(x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2\). Возводим в квадрат: \(2x-3 = (x-2)^2\) \(2x-3 = x^2 - 4x + 4\) \(x^2 - 6x + 7 = 0\) \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8\) \(x = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}\). Проверяем ОДЗ \(x \ge 2\). \(3 + \sqrt{2} \approx 3 + 1.414 = 4.414\). Это подходит. \(3 - \sqrt{2} \approx 3 - 1.414 = 1.586\). Это не подходит, так как \(1.586 < 2\). Таким образом, \(x = 3 + \sqrt{2}\) было бы решением. В нашем случае, уравнение \(y^4 - 4y - 13 = 0\) не имеет простых корней. Если бы это было уравнение, которое можно решить в школе, то, возможно, оно было бы составлено так, чтобы иметь целые корни. Например, если бы \(y= \sqrt{2x-3}\) было равно 2, то \(2x-3 = 4 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = 3.5\). Подставим \(x=3.5\) в правую часть: \( (3.5)^2 - 3 \cdot 3.5 - 1 = 12.25 - 10.5 - 1 = 0.75 \). \(2 \ne 0.75\). Вывод: Данное уравнение, скорее всего, не имеет простых аналитических решений, которые можно было бы найти в рамках школьной программы. Если это задача из учебника, возможно, есть опечатка в условии, или предполагается использование графического метода или численного решения. Если все же нужно дать ответ, то без дополнительных инструментов (графический калькулятор, программа для численного решения) или упрощения условия, точное решение найти сложно. Если бы я был школьником, я бы записал: 1. ОДЗ: \(x \ge 1.5\). 2. Возведение в квадрат: \(2x - 3 = (x^2 - 3x - 1)^2\). 3. Условие для правой части: \(x^2 - 3x - 1 \ge 0\), что приводит к \(x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2}\). 4. Попытка найти целые корни (проверка \(x=2, 3, 4\)). 5. Преобразование к уравнению \(y^4 - 4y - 13 = 0\), где \(y = \sqrt{2x-3}\). 6. Заключение, что это уравнение четвертой степени, которое сложно решить аналитически в рамках школьной программы. Если учитель ожидает конкретный ответ, то, возможно, он имел в виду, что нужно найти приближенное решение или показать, что решений нет. Графически, можно построить графики функций \(f(x) = \sqrt{2x-3}\) и \(g(x) = x^2 - 3x - 1\). На интервале \(x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2}\), функция \(g(x)\) возрастает, и \(f(x)\) также возрастает. При \(x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.3\), \(g(x) = 0\), а \(f(x) = \sqrt{2 \cdot \frac{3 + \sqrt{13}}{2} - 3} = \sqrt{3 + \sqrt{13} - 3} = \sqrt{\sqrt{13}} = 13^{1/4} \approx 1.89\). Так как \(g(x)\) растет быстрее, чем \(f(x)\) на этом интервале, и \(f(x)\) начинается с большего значения, то, возможно, есть точка пересечения. Давайте рассмотрим производные: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x-3}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x-3}}\) \(g'(x) = 2x - 3\) При \(x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.3\): \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{13}}} = \frac{1}{13^{1/4}} \approx \frac{1}{1.89} \approx 0.53\) \(g'(x) = 2 \cdot \frac{3 + \sqrt{13}}{2} - 3 = 3 + \sqrt{13} - 3 = \sqrt{13} \