Задача: На рисунке прямые \(a\), \(b\) и \(c\) пересекаются в одной точке. Докажите, что \(a \perp b\).
Дано:
- Прямые \(a\), \(b\), \(c\) пересекаются в одной точке.
- Угол между прямыми \(a\) и \(c\) равен \(35^\circ\).
- Угол между прямыми \(b\) и \(c\) равен \(55^\circ\).
Доказать: \(a \perp b\).
Доказательство:
- Рассмотрим углы, образованные при пересечении прямых \(a\), \(b\) и \(c\). На рисунке видно, что прямая \(c\) образует с прямой \(a\) угол \(35^\circ\), а с прямой \(b\) угол \(55^\circ\).
- Эти два угла (угол между \(a\) и \(c\), и угол между \(b\) и \(c\)) являются смежными углами, которые в сумме образуют угол между прямыми \(a\) и \(b\). Или, если быть точнее, они являются частями угла между прямыми \(a\) и \(b\), если прямая \(c\) проходит между ними.
- Найдем сумму этих углов: \[35^\circ + 55^\circ = 90^\circ\]
- Сумма углов, образованных прямой \(c\) с прямыми \(a\) и \(b\), равна \(90^\circ\). Это означает, что угол между прямыми \(a\) и \(b\) равен \(90^\circ\).
- По определению, если угол между двумя прямыми равен \(90^\circ\), то эти прямые перпендикулярны.
- Следовательно, прямая \(a\) перпендикулярна прямой \(b\), что записывается как \(a \perp b\).
Что и требовалось доказать.