Решите задачу.
Дана трапеция ABCD. Основание BC = 10 см, AD = 18 см. Боковая сторона AB равна 18 см. Угол A = 30°.
Найдите площадь трапеции ABCD.
Решение:
Для нахождения площади трапеции используется формула:
\[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\]где:
- \(S\) — площадь трапеции;
- \(a\) и \(b\) — длины оснований трапеции;
- \(h\) — высота трапеции.
Из условия задачи нам даны следующие значения:
- Верхнее основание \(BC = a = 10\) см.
- Нижнее основание \(AD = b = 18\) см.
- Боковая сторона \(AB = 18\) см.
- Угол \(A = 30^\circ\).
Нам нужно найти высоту \(h\). На рисунке показано, что из вершины B опущена высота BH на основание AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH.
В прямоугольном треугольнике ABH:
- Гипотенуза \(AB = 18\) см.
- Угол \(A = 30^\circ\).
- Высота \(BH = h\) является катетом, противолежащим углу \(A\).
Мы знаем, что синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
\[\sin(A) = \frac{BH}{AB}\]Подставим известные значения:
\[\sin(30^\circ) = \frac{h}{18}\]Значение \(\sin(30^\circ)\) равно \(0.5\) или \(\frac{1}{2}\).
\[\frac{1}{2} = \frac{h}{18}\]Чтобы найти \(h\), умножим обе части уравнения на 18:
\[h = 18 \cdot \frac{1}{2}\] \[h = 9 \text{ см}\]Теперь, когда у нас есть все необходимые значения (основания \(a = 10\) см, \(b = 18\) см и высота \(h = 9\) см), мы можем найти площадь трапеции:
\[S = \frac{10 + 18}{2} \cdot 9\]Сначала выполним сложение в числителе:
\[S = \frac{28}{2} \cdot 9\]Теперь выполним деление:
\[S = 14 \cdot 9\]И, наконец, умножение:
\[S = 126\]Единицы измерения для площади будут сантиметры в квадрате, так как все длины даны в сантиметрах.
\[S = 126 \text{ см}^2\]Ответ: 126 см2.