Решите задачу.
Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой основания 6 см и 10 см соответственно, а больший угол равен 135°.
Решение:
Для нахождения площади трапеции используется формула:
\[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\]где:
- \(S\) — площадь трапеции;
- \(a\) и \(b\) — длины оснований трапеции;
- \(h\) — высота трапеции.
Из условия задачи нам даны следующие значения:
- Длины оснований: \(a = 6\) см и \(b = 10\) см.
- Больший угол трапеции равен \(135^\circ\).
Давайте представим прямоугольную трапецию ABCD, где AD и BC — основания, AB — боковая сторона, перпендикулярная основаниям (это и есть высота трапеции), а CD — другая боковая сторона.
В прямоугольной трапеции два угла при одной из боковых сторон прямые (по \(90^\circ\)). Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\).
Если один из углов при боковой стороне равен \(90^\circ\), то и другой угол при этой же боковой стороне тоже \(90^\circ\).
Больший угол трапеции \(135^\circ\) может быть только при верхнем основании (например, угол C, если AB — высота) или при нижнем основании (если трапеция "наклонена" в другую сторону). В прямоугольной трапеции углы при одной из боковых сторон равны \(90^\circ\). Значит, больший угол \(135^\circ\) находится при другой боковой стороне.
Пусть трапеция ABCD, где AB перпендикулярна AD и BC. Тогда углы A и B равны \(90^\circ\). Больший угол \(135^\circ\) может быть либо углом C, либо углом D. Поскольку угол D при нижнем основании, а угол C при верхнем, и трапеция "сужается" кверху, то угол C будет тупым, а угол D острым. Значит, больший угол \(135^\circ\) — это угол C.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне CD, равна \(180^\circ\). Если угол C равен \(135^\circ\), то угол D равен:
\[\angle D = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\]Теперь опустим высоту из вершины B на основание AD. Пусть это будет точка H. Тогда ABHD — прямоугольник, и BH — высота трапеции.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. В нем:
- Угол D = \(45^\circ\).
- Угол CHD = \(90^\circ\) (так как BH — высота).
- Значит, угол HCD = \(180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\).
Поскольку углы D и HCD равны \(45^\circ\), треугольник CHD является равнобедренным, и \(CH = HD\).
Длина отрезка HD равна разности между нижним и верхним основаниями:
\[HD = AD - BC = 10 \text{ см} - 6 \text{ см} = 4 \text{ см}\]Так как \(CH = HD\), то высота трапеции \(h = CH = 4\) см.
Теперь у нас есть все необходимые значения:
- Основания: \(a = 6\) см, \(b = 10\) см.
- Высота: \(h = 4\) см.
Подставим эти значения в формулу для площади:
\[S = \frac{6 + 10}{2} \cdot 4\]Сначала выполним сложение в числителе:
\[S = \frac{16}{2} \cdot 4\]Теперь выполним деление:
\[S = 8 \cdot 4\]И, наконец, умножение:
\[S = 32\]Единицы измерения для площади будут сантиметры в квадрате.
\[S = 32 \text{ см}^2\]Ответ: 32 см2.