Теорема
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.
Пусть \(S\) — площадь трапеции ABCD.
Докажем, что \(S = \frac{1}{2} (AD + BC) \cdot BH\).
Диагональ BD разбивает трапецию на два треугольника ABD и BDC, поэтому
\[S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BDC}\]Здесь (1) соответствует \(S_{ABD}\).
Примем отрезки (2) за основание и высоту \(\triangle ABD\).
Для треугольника ABD основанием является AD, а высотой, опущенной на AD, является BH. Значит, (2) — это AD и BH.
Примем отрезки (3) за основание и высоту \(\triangle BCD\).
Для треугольника BCD основанием является BC. Высота, опущенная из D на продолжение BC, или из B на продолжение CD, или из D на BC. Но удобнее опустить высоту из D на BC. Однако, если мы используем высоту BH, то для треугольника BCD, если его основание BC, то высота, опущенная из D на прямую, содержащую BC, будет равна высоте трапеции. На рисунке проведена высота \(DH_1\) из D на продолжение BC. Но также можно использовать высоту, равную BH, если рассматривать BC как основание, а высоту, опущенную из D на прямую, содержащую BC, как \(DH_1\). Или, если мы хотим использовать BH, то для треугольника BCD, если основание BC, то высота, опущенная из D на прямую, содержащую BC, будет равна BH, так как BH и \(DH_1\) — это высоты трапеции, а значит, они равны. Значит, (3) — это BC и \(DH_1\).
Тогда \(S_{ABD} = (4)\), \(S_{BCD} = (5)\).
Площадь треугольника ABD: \(S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH\).
Значит, (4) — это \(\frac{1}{2} AD \cdot BH\).
Площадь треугольника BCD: \(S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DH_1\).
Значит, (5) — это \(\frac{1}{2} BC \cdot DH_1\).
Так как \(BH = DH_1\), то \(S_{BCD} = (6)\).
Поскольку \(BH\) и \(DH_1\) являются высотами трапеции, они равны. Поэтому мы можем заменить \(DH_1\) на \(BH\) в формуле для \(S_{BCD}\).
Значит, (6) — это \(\frac{1}{2} BC \cdot BH\).
Теперь подставим все в формулу для \(S_{ABCD}\):
\[S_{ABCD} = \frac{1}{2} AD \cdot BH + \frac{1}{2} (7) = \frac{1}{2} (AD + BC) \cdot BH\]Здесь (7) — это \(BC \cdot BH\).
Давайте теперь сопоставим пронумерованные пропуски с предложенными вариантами:
- \(S_{ABD}\)
- AD и BH
- BC и \(DH_1\)
- \(\frac{1}{2} AD \cdot BH\)
- \(\frac{1}{2} BC \cdot DH_1\)
- \(\frac{1}{2} BC \cdot BH\)
- \(BC \cdot BH\)
Теперь посмотрим на предложенные варианты ответов и выберем те, которые соответствуют пропускам.
Варианты ответов:
- \(\frac{1}{2} BC \cdot DH_1\)
- \(\frac{1}{2} AD \cdot BH\)
- AD и BH
- BC и \(DH_1\)
- \(S_{ABD}\)
- \(BC \cdot BH\)
- \(\frac{1}{2} BC \cdot BH\)
Сопоставление:
- (1) — \(S_{ABD}\)
- (2) — AD и BH
- (3) — BC и \(DH_1\)
- (4) — \(\frac{1}{2} AD \cdot BH\)
- (5) — \(\frac{1}{2} BC \cdot DH_1\)
- (6) — \(\frac{1}{2} BC \cdot BH\)
- (7) — \(BC \cdot BH\)
Заполненное доказательство:
Теорема
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.
Пусть \(S\) — площадь трапеции ABCD.
Докажем, что \(S = \frac{1}{2} (AD + BC) \cdot BH\).
Диагональ BD разбивает трапецию на два треугольника ABD и BDC, поэтому
\[S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BDC}\]Примем отрезки AD и BH за основание и высоту \(\triangle ABD\).
Примем отрезки BC и \(DH_1\) за основание и высоту \(\triangle BCD\).
Тогда \(S_{ABD} = \frac{1}{2} AD \cdot BH\), \(S_{BCD} = \frac{1}{2} BC \cdot DH_1\).
Так как \(BH = DH_1\), то \(S_{BCD} = \frac{1}{2} BC \cdot BH\).
\[S_{ABCD} = \frac{1}{2} AD \cdot BH + \frac{1}{2} BC \cdot BH = \frac{1}{2} (AD + BC) \cdot BH\]