Решение уравнения (x²-4x)/(x-7) = 21/(x-7)

Решим каждое уравнение по порядку. Решите уравнение: 1) \[ \frac{x^2 - 4x}{x - 7} = \frac{21}{x - 7} \] Область допустимых значений (ОДЗ): \(x - 7 \neq 0\), то есть \(x \neq 7\). Так как знаменатели одинаковые, мы можем приравнять числители: \[ x^2 - 4x = 21 \] Перенесем 21 в левую часть: \[ x^2 - 4x - 21 = 0 \] Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета: Сумма корней \(x_1 + x_2 = 4\) Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = -21\) Подходящие числа: \(7\) и \(-3\). Проверим: \(7 + (-3) = 4\), \(7 \cdot (-3) = -21\). Значит, корни уравнения: \(x_1 = 7\), \(x_2 = -3\). Теперь проверим ОДЗ. \(x \neq 7\). Корень \(x_1 = 7\) не подходит, так как он обращает знаменатель в ноль. Корень \(x_2 = -3\) подходит. Ответ: \(x = -3\). 2) \[ \frac{x^2 - x}{x^2 - 9} = \frac{7x - 15}{x^2 - 9} \] Область допустимых значений (ОДЗ): \(x^2 - 9 \neq 0\). Разложим \(x^2 - 9\) как разность квадратов: \((x - 3)(x + 3) \neq 0\). Значит, \(x \neq 3\) и \(x \neq -3\). Так как знаменатели одинаковые, приравняем числители: \[ x^2 - x = 7x - 15 \] Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ x^2 - x - 7x + 15 = 0 \] \[ x^2 - 8x + 15 = 0 \] Это квадратное уравнение. Найдем его корни. По теореме Виета: Сумма корней \(x_1 + x_2 = 8\) Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = 15\) Подходящие числа: \(3\) и \(5\). Проверим: \(3 + 5 = 8\), \(3 \cdot 5 = 15\). Значит, корни уравнения: \(x_1 = 3\), \(x_2 = 5\). Теперь проверим ОДЗ. \(x \neq 3\) и \(x \neq -3\). Корень \(x_1 = 3\) не подходит, так как он обращает знаменатель в ноль. Корень \(x_2 = 5\) подходит. Ответ: \(x = 5\). 3) \[ \frac{4x + 5}{x + 2} = \frac{2x - 7}{3x - 6} \] Область допустимых значений (ОДЗ): \(x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\) \(3x - 6 \neq 0 \Rightarrow 3(x - 2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\) Перемножим крест-накрест: \[ (4x + 5)(3x - 6) = (2x - 7)(x + 2) \] Раскроем скобки: Левая часть: \(4x \cdot 3x + 4x \cdot (-6) + 5 \cdot 3x + 5 \cdot (-6) = 12x^2 - 24x + 15x - 30 = 12x^2 - 9x - 30\) Правая часть: \(2x \cdot x + 2x \cdot 2 - 7 \cdot x - 7 \cdot 2 = 2x^2 + 4x - 7x - 14 = 2x^2 - 3x - 14\) Приравняем обе части: \[ 12x^2 - 9x - 30 = 2x^2 - 3x - 14 \] Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ 12x^2 - 2x^2 - 9x + 3x - 30 + 14 = 0 \] \[ 10x^2 - 6x - 16 = 0 \] Разделим все уравнение на 2, чтобы упростить: \[ 5x^2 - 3x - 8 = 0 \] Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 9 + 160 = 169\) \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 5} \] \[ x = \frac{3 \pm 13}{10} \] Найдем два корня: \[ x_1 = \frac{3 + 13}{10} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5} \] \[ x_2 = \frac{3 - 13}{10} = \frac{-10}{10} = -1 \] Проверим ОДЗ: \(x \neq -2\) и \(x \neq 2\). Оба корня \(x_1 = \frac{8}{5}\) и \(x_2 = -1\) подходят. Ответ: \(x_1 = \frac{8}{5}\), \(x_2 = -1\). 4) \[ \frac{1}{x + 5} - \frac{1}{x + 13} = \frac{2}{21} \] Область допустимых значений (ОДЗ): \(x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5\) \(x + 13 \neq 0 \Rightarrow x \neq -13\) Приведем дроби в левой части к общему знаменателю \((x + 5)(x + 13)\): \[ \frac{1 \cdot (x + 13)}{(x + 5)(x + 13)} - \frac{1 \cdot (x + 5)}{(x + 5)(x + 13)} = \frac{2}{21} \] \[ \frac{(x + 13) - (x + 5)}{(x + 5)(x + 13)} = \frac{2}{21} \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{x + 13 - x - 5}{(x + 5)(x + 13)} = \frac{2}{21} \] \[ \frac{8}{(x + 5)(x + 13)} = \frac{2}{21} \] Раскроем скобки в знаменателе левой части: \((x + 5)(x + 13) = x^2 + 13x + 5x + 65 = x^2 + 18x + 65\) Получаем: \[ \frac{8}{x^2 + 18x + 65} = \frac{2}{21} \] Перемножим крест-накрест: \[ 8 \cdot 21 = 2 \cdot (x^2 + 18x + 65) \] \[ 168 = 2x^2 + 36x + 130 \] Разделим все уравнение на 2: \[ 84 = x^2 + 18x + 65 \] Перенесем 84 в правую часть: \[ 0 = x^2 + 18x + 65 - 84 \] \[ x^2 + 18x - 19 = 0 \] Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета: Сумма корней \(x_1 + x_2 = -18\) Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = -19\) Подходящие числа: \(-19\) и \(1\). Проверим: \(-19 + 1 = -18\), \(-19 \cdot 1 = -19\). Значит, корни уравнения: \(x_1 = -19\), \(x_2 = 1\). Проверим ОДЗ: \(x \neq -5\) и \(x \neq -13\). Оба корня \(x_1 = -19\) и \(x_2 = 1\) подходят. Ответ: \(x_1 = -19\), \(x_2 = 1\). 5) \[ \frac{5}{x^2 + 3x} - \frac{15}{x^2 - 3x} = \frac{16}{x} \] Разложим знаменатели на множители: \(x^2 + 3x = x(x + 3)\) \(x^2 - 3x = x(x - 3)\) Уравнение примет вид: \[ \frac{5}{x(x + 3)} - \frac{15}{x(x - 3)} = \frac{16}{x} \] Область допустимых значений (ОДЗ): \(x \neq 0\) \(x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3\) \(x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\) Общий знаменатель для всех дробей: \(x(x + 3)(x - 3)\). Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \(x(x + 3)(x - 3)\): \[ 5(x - 3) - 15(x + 3) = 16(x + 3)(x - 3) \] Раскроем скобки: \[ 5x - 15 - 15x - 45 = 16(x^2 - 9) \] \[ -10x - 60 = 16x^2 - 144 \] Перенесем все слагаемые в правую часть: \[ 0 = 16x^2 + 10x - 144 + 60 \] \[ 16x^2 + 10x - 84 = 0 \] Разделим все уравнение на 2: \[ 8x^2 + 5x - 42 = 0 \] Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-42) = 25 + 1344 = 1369\) \[ \sqrt{D} = \sqrt{1369} = 37 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x = \frac{-5 \pm 37}{2 \cdot 8} \] \[ x = \frac{-5 \pm 37}{16} \] Найдем два корня: \[ x_1 = \frac{-5 + 37}{16} = \frac{32}{16} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-5 - 37}{16} = \frac{-42}{16} = -\frac{21}{8} \] Проверим ОДЗ: \(x \neq 0\), \(x \neq -3\), \(x \neq 3\). Оба корня \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -\frac{21}{8}\) подходят. Ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -\frac{21}{8}\). 6) \[ \frac{x + 3}{x - 4} - \frac{2}{x - 3} = \frac{8x - 22}{(x - 4)(x - 3)} \] Область допустимых значений (ОДЗ): \(x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4\) \(x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\) Общий знаменатель для всех дробей: \((x - 4)(x - 3)\). Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \((x - 4)(x - 3)\): \[ (x + 3)(x - 3) - 2(x - 4) = 8x - 22 \] Раскроем скобки: \((x + 3)(x - 3)\) это разность квадратов: \(x^2 - 3^2 = x^2 - 9\). \[ x^2 - 9 - 2x + 8 = 8x - 22 \] \[ x^2 - 2x - 1 = 8x - 22 \] Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ x^2 - 2x - 8x - 1 + 22 = 0 \] \[ x^2 - 10x + 21 = 0 \] Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета: Сумма корней \(x_1 + x_2 = 10\) Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = 21\) Подходящие числа: \(3\) и \(7\). Проверим: \(3 + 7 = 10\), \(3 \cdot 7 = 21\). Значит, корни уравнения: \(x_1 = 3\), \(x_2 = 7\). Проверим ОДЗ: \(x \neq 4\) и \(x \neq 3\). Корень \(x_1 = 3\) не подходит, так как он обращает знаменатель в ноль. Корень \(x_2 = 7\) подходит. Ответ: \(x = 7\). 7) \[ \frac{1}{x - 5} - \frac{2}{x^2 + 5x} = \frac{20}{x^3 - 25x} \] Разложим знаменатели на множители: \(x^2 + 5x = x(x + 5)\) \(x^3 - 25x = x(x^2 - 25) = x(x - 5)(x + 5)\) Уравнение примет вид: \[ \frac{1}{x - 5} - \frac{2}{x(x + 5)} = \frac{20}{x(x - 5)(x + 5)} \] Область допустимых значений (ОДЗ): \(x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5\) \(x \neq 0\) \(x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5\) Общий знаменатель для всех дробей: \(x(x - 5)(x + 5)\). Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \(x(x - 5)(x + 5)\): \[ 1 \cdot x(x + 5) - 2 \cdot (x - 5) = 20 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + 5x - 2x + 10 = 20 \] \[ x^2 + 3x + 10 = 20 \] Перенесем 20 в левую часть: \[ x^2 + 3x + 10 - 20 = 0 \] \[ x^2 + 3x - 10 = 0 \] Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета: Сумма корней \(x_1 + x_2 = -3\) Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = -10\) Подходящие числа: \(-5\) и \(2\). Проверим: \(-5 + 2 = -3\), \(-5 \cdot 2 = -10\). Значит, корни уравнения: \(x_1 = -5\), \(x_2 = 2\). Проверим ОДЗ: \(x \neq 5\), \(x \neq 0\), \(x \neq -5\). Корень \(x_1 = -5\) не подходит, так как он обращает знаменатель в ноль. Корень \(x_2 = 2\) подходит. Ответ: \(x = 2\).