Решение задачи: Квадрат и круг (Вероятность)

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь:

Задание 2

Установите соответствие между объектами двух столбцов.

В квадрат со стороной 6 вписан круг. Сопоставьте условие задачи с его ответом.

Условия:

1. Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка этого квадрата принадлежит кругу.
2. Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка этого квадрата не принадлежит кругу.

Варианты ответов:

• \(\frac{\pi}{6}\)
• \(1 - \frac{\pi}{4}\)
• \(\frac{\pi}{4}\)
• \(\frac{2\pi}{3}\)

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно найти площади квадрата и вписанного в него круга.

1. Определим параметры квадрата и круга:

• Сторона квадрата \(a = 6\).
• Площадь квадрата \(S_{\text{квадрата}} = a^2\).
• Если круг вписан в квадрат, то диаметр круга равен стороне квадрата. Значит, диаметр \(D = 6\).
• Радиус круга \(r = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3\).
• Площадь круга \(S_{\text{круга}} = \pi r^2\).

2. Вычислим площади:

• Площадь квадрата: \(S_{\text{квадрата}} = 6^2 = 36\).
• Площадь круга: \(S_{\text{круга}} = \pi \cdot 3^2 = 9\pi\).

3. Найдем вероятность для первого условия:

"Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка этого квадрата принадлежит кругу."

Вероятность \(P_1\) равна отношению площади круга к площади квадрата:

\[P_1 = \frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{квадрата}}} = \frac{9\pi}{36}\]

Сократим дробь:

\[P_1 = \frac{\pi}{4}\]

4. Найдем вероятность для второго условия:

"Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка этого квадрата не принадлежит кругу."

Вероятность \(P_2\) того, что точка не принадлежит кругу, можно найти как \(1 - P_1\), или как отношение площади части квадрата вне круга к общей площади квадрата.

Площадь части квадрата вне круга: \(S_{\text{вне круга}} = S_{\text{квадрата}} - S_{\text{круга}} = 36 - 9\pi\).

Тогда:

\[P_2 = \frac{S_{\text{вне круга}}}{S_{\text{квадрата}}} = \frac{36 - 9\pi}{36}\]

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

\[P_2 = \frac{36}{36} - \frac{9\pi}{36} = 1 - \frac{\pi}{4}\]

Соответствие:

• Условие 1: "Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка этого квадрата принадлежит кругу." соответствует ответу \(\frac{\pi}{4}\).
• Условие 2: "Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка этого квадрата не принадлежит кругу." соответствует ответу \(1 - \frac{\pi}{4}\).