Решение задачи на планетарный редуктор с заданными параметрами

Хорошо, давайте решим эту задачу. На изображении представлена схема планетарного редуктора и даны числа зубьев некоторых шестерен. Нужно определить передаточное отношение. Дано: Числа зубьев шестерен: \(Z_1 = 50\) \(Z_2 = 20\) \(Z_3 = 20\) \(Z_4 = 40\) \(Z_6 = 22\) \(Z_7 = 44\) Схема показывает, что: * Шестерня 1 - это центральное колесо (солнечная шестерня). * Шестерня 2 - это сателлит, который вращается вокруг шестерни 1. * Шестерня 3 - это сателлит, который находится на одном валу с шестерней 2 (образует блок сателлитов 2-3). * Шестерня 4 - это центральное колесо, сцепленное с сателлитом 3. * Водило H соединяет оси сателлитов 2 и 3. * Шестерня 5 - это центральное колесо, которое, судя по схеме, является неподвижным (закреплено). * Шестерня 6 - это сателлит, сцепленный с шестерней 7. * Шестерня 7 - это центральное колесо. Однако, на схеме есть некоторые неточности или неполнота обозначений. Обычно в планетарных редукторах сателлиты сцепляются с двумя центральными колесами и водилом. Здесь же показана более сложная схема. Давайте проанализируем схему внимательнее. Входной вал \( \omega_1 \) вращает шестерню 1. Шестерня 1 сцеплена с сателлитом 2. Сателлит 2 и сателлит 3 образуют блок, который вращается на водиле H. Сателлит 3 сцеплен с шестерней 4. Шестерня 5 показана как неподвижная (закреплена). Шестерня 6 сцеплена с шестерней 7. Похоже, что это двухступенчатый планетарный редуктор или комбинация планетарного и обычного редуктора. Давайте предположим, что: 1. Входной вал \( \omega_1 \) вращает шестерню 1. 2. Водило H является выходным элементом первой ступени. 3. Шестерня 5 является неподвижной. Если шестерня 5 неподвижна, то она должна быть сцеплена с каким-то сателлитом. На схеме шестерня 5 сцеплена с сателлитом 4. Но сателлит 4 сцеплен с сателлитом 3. Это не совсем стандартная схема. Давайте пересмотрим обозначения. Если 1 - солнечная шестерня, 2 - сателлит, 3 - сателлит, 4 - центральное колесо, 5 - центральное колесо, 6 - сателлит, 7 - центральное колесо. На схеме: * Шестерня 1 (солнечная) вращается от \( \omega_1 \). * Шестерня 2 (сателлит) сцеплена с шестерней 1. * Шестерня 3 (сателлит) находится на одном валу с шестерней 2. * Шестерня 4 (центральное колесо) сцеплена с шестерней 3. * Водило H несет блок сателлитов 2-3. * Шестерня 5 (центральное колесо) показана как неподвижная. * Шестерня 6 (сателлит) сцеплена с шестерней 7 (центральное колесо). Возможно, схема представляет собой планетарный редуктор, где водило H является входным элементом, а шестерня 7 - выходным. Или наоборот. Однако, стрелка \( \omega_1 \) указывает на шестерню 1. Давайте рассмотрим два варианта: Вариант 1: Это планетарный редуктор, где шестерня 1 - вход, водило H - выход. Вариант 2: Это более сложная схема, где водило H является промежуточным звеном. Поскольку шестерня 5 показана как неподвижная, это ключевой момент. Если шестерня 5 неподвижна, то она должна быть сцеплена с сателлитом 4. Тогда у нас есть планетарная передача: Солнечная шестерня: 1 Сателлиты: 2 и 3 (блок) Кольцевая шестерня: 4 (если она сцеплена с 3) или 5 (если она сцеплена с 4). На схеме шестерня 5 сцеплена с шестерней 4. Это означает, что шестерня 4 является сателлитом, а шестерня 5 - центральным колесом. Но тогда шестерня 3 сцеплена с шестерней 4. Это очень необычная схема. Давайте предположим, что это стандартная планетарная передача, где: * 1 - солнечная шестерня. * 2 - сателлит. * 3 - сателлит. * 4 - центральное колесо. * Водило H. И есть вторая ступень. Давайте попробуем интерпретировать схему как двухступенчатый планетарный редуктор. Первая ступень: Вход: шестерня 1 (вращается с \( \omega_1 \)). Сателлиты: 2 и 3 (блок). Неподвижный элемент: шестерня 5. Выход: водило H. Если шестерня 5 неподвижна, и она сцеплена с шестерней 4, а шестерня 4 сцеплена с шестерней 3, то это означает, что шестерня 4 является сателлитом, а шестерня 5 - центральным колесом. Но тогда шестерня 3 тоже сателлит. Давайте предположим, что шестерня 5 - это кольцевая шестерня, которая сцеплена с сателлитом 4. А сателлит 4 сцеплен с сателлитом 3. Это нелогично. Наиболее вероятная интерпретация: Это планетарный редуктор, где: * Солнечная шестерня: 1 * Сателлиты: 2 и 3 (блок) * Кольцевая шестерня: 4 (сцеплена с 3) * Водило: H И есть вторая ступень, где: * Шестерня 5 - неподвижная. * Шестерня 6 - сателлит. * Шестерня 7 - центральное колесо. Но как связаны эти две части? На схеме видно, что водило H является общим для сателлитов 2-3 и, возможно, для сателлита 6. Или водило H является выходом первой ступени, а затем передает движение на вторую ступень. Давайте используем формулу Виллиса для планетарных передач: \[ \frac{\omega_1 - \omega_H}{\omega_4 - \omega_H} = i_{14}^H \] где \( i_{14}^H \) - передаточное отношение от шестерни 1 к шестерне 4 при неподвижном водиле H. \[ i_{14}^H = (-1)^k \frac{Z_4}{Z_1} \cdot \frac{Z_2}{Z_3} \] Здесь \( k \) - количество внешних зацеплений. В нашем случае, от 1 к 2 (внешнее), от 3 к 4 (внешнее). Значит, \( k=2 \). \[ i_{14}^H = \frac{Z_4}{Z_1} \cdot \frac{Z_2}{Z_3} \] Подставим значения: \(Z_1 = 50\), \(Z_2 = 20\), \(Z_3 = 20\), \(Z_4 = 40\). \[ i_{14}^H = \frac{40}{50} \cdot \frac{20}{20} = \frac{40}{50} \cdot 1 = \frac{4}{5} = 0.8 \] Значит, \[ \frac{\omega_1 - \omega_H}{\omega_4 - \omega_H} = 0.8 \] Теперь рассмотрим вторую часть схемы. Шестерня 5 неподвижна. Она сцеплена с шестерней 4. Это означает, что шестерня 4 является сателлитом, а шестерня 5 - центральным колесом. Но выше мы предположили, что 4 - это центральное колесо. Это противоречие. Давайте пересмотрим схему. Стрелка \( \omega_1 \) указывает на шестерню 1. Шестерня 1 сцеплена с шестерней 2. Шестерня 2 и 3 - блок сателлитов на водиле H. Шестерня 3 сцеплена с шестерней 4. Шестерня 5 неподвижна. Шестерня 6 сцеплена с шестерней 7. Возможно, шестерня 4 является центральным колесом, а шестерня 5 - это кольцевая шестерня, которая сцеплена с шестерней 4. Но на схеме 5 и 4 показаны как внешнее зацепление. Давайте предположим, что это двухступенчатый планетарный редуктор. Первая ступень: Вход: шестерня 1 (\( \omega_1 \)). Сателлиты: 2 и 3 (блок). Неподвижный элемент: шестерня 5. Выход: водило H. Если шестерня 5 неподвижна, и она сцеплена с шестерней 4, а шестерня 4 сцеплена с шестерней 3, то это означает, что шестерня 4 является сателлитом, а шестерня 5 - центральным колесом. Но тогда шестерня 3 тоже сателлит. Давайте попробуем другую интерпретацию. Это планетарный редуктор с двумя рядами сателлитов. Ряд 1: 1 (солнечная), 2 (сателлит), 3 (сателлит), 4 (центральное колесо). Ряд 2: 5 (неподвижная центральная), 6 (сателлит), 7 (центральное колесо). И водило H является общим для сателлитов 2, 3 и 6. Вход: \( \omega_1 \) на шестерню 1. Выход: \( \omega_7 \) на шестерню 7. Давайте применим формулу Виллиса для каждой ступени. Ступень 1 (шестерни 1, 2, 3, 4, водило H): Здесь шестерня 1 - солнечная, шестерня 4 - центральное колесо. Сателлиты 2 и 3 образуют блок. Передаточное отношение от 1 к 4 при неподвижном водиле H: \[ i_{14}^H = (-1)^k \frac{Z_4}{Z_1} \cdot \frac{Z_2}{Z_3} \] Зацепления: 1-2 (внешнее), 3-4 (внешнее). \( k=2 \). \[ i_{14}^H = \frac{Z_4}{Z_1} \cdot \frac{Z_2}{Z_3} = \frac{40}{50} \cdot \frac{20}{20} = \frac{4}{5} = 0.8 \] Формула Виллиса: \[ \frac{\omega_1 - \omega_H}{\omega_4 - \omega_H} = i_{14}^H \] \[ \frac{\omega_1 - \omega_H}{\omega_4 - \omega_H} = 0.8 \] Отсюда: \[ \omega_1 - \omega_H = 0.8 (\omega_4 - \omega_H) \] \[ \omega_1 - \omega_H = 0.8 \omega_4 - 0.8 \omega_H \] \[ \omega_1 - 0.2 \omega_H = 0.8 \omega_4 \] \[ \omega_4 = \frac{\omega_1 - 0.2 \omega_H}{0.8} \] Теперь рассмотрим вторую ступень (шестерни 5, 6, 7, водило H). Шестерня 5 - неподвижная центральная шестерня (\( \omega_5 = 0 \)). Шестерня 7 - центральное колесо (выход). Сателлит: 6. Водило: H. Передаточное отношение от 5 к 7 при неподвижном водиле H: \[ i_{57}^H = (-1)^k \frac{Z_7}{Z_5} \] Здесь \( k=1 \) (зацепление 5-6 внешнее, 6-7 внешнее). Но на схеме 5 сцеплена с 4, а 6 сцеплена с 7. Это означает, что шестерня 5 не является центральной шестерней для сателлита 6. Давайте предположим, что шестерня 5 - это кольцевая шестерня, которая сцеплена с сателлитом 4. Но на схеме 5 и 4 показаны как внешнее зацепление. Возможно, это планетарный редуктор с двумя рядами сателлитов, где водило H является общим. Вход: \( \omega_1 \) на шестерню 1. Выход: \( \omega_7 \) на шестерню 7. Неподвижный элемент: шестерня 5. Давайте попробуем применить формулу Виллиса для всей системы, если это единый планетарный механизм. Если водило H является общим для всех сателлитов (2, 3, 4, 6). Тогда: \[ \frac{\omega_1 - \omega_H}{\omega_5 - \omega_H} = i_{15}^H \] где \( i_{15}^H \) - передаточное отношение от шестерни 1 к шестерне 5 при неподвижном водиле H. \[ i_{15}^H = (-1)^k \frac{Z_5}{Z_1} \cdot \frac{Z_2}{Z_3} \cdot \frac{Z_4}{Z_?} \] Это становится слишком сложным, так как не все зацепления ясны. Давайте вернемся к более простой интерпретации. Это двухступенчатый редуктор. Первая ступень: планетарная передача. Вход: \( \omega_1 \) на шестерню 1. Выход: \( \omega_H \) на водило H. Неподвижный элемент: шестерня 4. Если шестерня 4 неподвижна (\( \omega_4 = 0 \)). Тогда: \[ \frac{\omega_1 - \omega_H}{\omega_4 - \omega_H} = i_{14}^H \] \[ \frac{\omega_1 - \omega_H}{0 - \omega_H} = i_{14}^H \] \[ \frac{\omega_1 - \omega_H}{-\omega_H} = i_{14}^H \] \[ i_{14}^H = \frac{Z_4}{Z_1} \cdot \frac{Z_2}{Z_3} = \frac{40}{50} \cdot \frac{20}{20} = 0.8 \] \[ \frac{\omega_1 - \omega_H}{-\omega_H} = 0.8 \] \[ \omega_1 - \omega_H = -0.8 \omega_H \] \[ \omega_1 = \omega_H - 0.8 \omega_H \] \[ \omega_1 = 0.2 \omega_H \] \[ \omega_H = \frac{\omega_1}{0.2} = 5 \omega_1 \] Передаточное отношение первой ступени \( i_1 = \frac{\omega_1}{\omega_H} = \frac{1}{5} = 0.2 \). Вторая ступень: Вход: \( \omega_H \) на водило H. Выход: \( \omega_7 \) на шестерню 7. Неподвижный элемент: шестерня 5. Сателлит: 6. Здесь шестерня 5 - солнечная (или кольцевая), шестерня 7 - кольцевая (или солнечная). На схеме 5 и 7 показаны как центральные колеса, а 6 - сателлит. Если 5 - солнечная, 7 - кольцевая. Тогда: \[ \frac{\omega_5 - \omega_H}{\omega_7 - \omega_H} = i_{57}^H \] \[ i_{57}^H = (-1)^k \frac{Z_7}{Z_5} \] Зацепление 5-6 (внешнее), 6-7 (внутреннее). \( k=1 \). \[ i_{57}^H = (-1