Задание 3
На заданной окружности случайным образом выбирают точку \(X\). Найдите вероятность того, что она принадлежит синей дуге окружности.
Решение:
Вероятность того, что случайно выбранная точка на окружности принадлежит определённой дуге, равна отношению длины этой дуги к общей длине всей окружности.
1. Определим общую длину окружности:
На рисунке окружность изображена на координатной сетке. Центр окружности находится в точке \((0,0)\) (если считать, что каждая клетка имеет сторону 1). Радиус окружности можно определить, посчитав клетки от центра до любой точки на окружности. Например, от центра \((0,0)\) до точки \((0,3)\) или \((3,0)\) на окружности. Таким образом, радиус \(R = 3\) единицы.
Длина всей окружности (её периметр) вычисляется по формуле \(L = 2\pi R\).
\[L = 2\pi \cdot 3 = 6\pi\]2. Определим длину синей дуги:
Синяя дуга начинается в точке \((-3,0)\) и заканчивается в точке \((3,0)\). Это верхняя половина окружности.
Длина синей дуги равна половине длины всей окружности.
\[L_{\text{синей дуги}} = \frac{1}{2} L = \frac{1}{2} \cdot 6\pi = 3\pi\]3. Найдем вероятность:
Вероятность \(P\) того, что случайно выбранная точка принадлежит синей дуге, равна отношению длины синей дуги к длине всей окружности:
\[P = \frac{L_{\text{синей дуги}}}{L}\] \[P = \frac{3\pi}{6\pi}\]Сократим \(\pi\) и числа:
\[P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]4. Представим ответ в десятичном виде:
\[P = 0.5\]Ответ:
Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит синей дуге окружности, составляет 0.5.