Задача 5. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен \(5\sqrt{3}\). Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение:
Пусть \(R\) — радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, а \(a\) — длина стороны этого треугольника.
Известна формула, связывающая радиус описанной окружности и сторону равностороннего треугольника:
\[R = \frac{a}{\sqrt{3}}\]В нашей задаче дано, что радиус \(R = 5\sqrt{3}\).
Подставим это значение в формулу:
\[5\sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}\]Чтобы найти длину стороны \(a\), нужно умножить обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):
\[a = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\]Вычислим произведение:
\[a = 5 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})\] \[a = 5 \cdot 3\] \[a = 15\]Таким образом, длина стороны равностороннего треугольника равна 15.
Ответ: 15.